《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 函数$y = \frac{\ln(2 - x)}{\sqrt{x - 1}}$的定义域是 (D)

A.$(0,1) \cup (1,2)$
B.$[0,2)$
C.$(0,2]$
D.$[0,1) \cup (1,2)$

答案： 课堂达标·素养提升
1.D 要使函数有意义，需满足$\begin{cases}2-x＞0 \\ x \geqslant 0 \\ \sqrt{x}-1 \neq 0 \end{cases}$
解得$0 \leqslant x＜2$，且$x \neq 1$.
故函数的定义域是$[0,1) \cup (1,2)$.

2. 设$f(x)$是对数函数，且$f(\sqrt[3]{4}) = - \frac{2}{3}$，那么$f(\sqrt{2}) =$$-\frac{1}{2}$.

答案： 2.答案: $-\frac{1}{2}$
解析:设对数函数$f(x)=\log_{a}x (a＞0,a\neq1)$.
由$f(\sqrt[3]{4})=-\frac{2}{3}$，得$\log_{a}\sqrt[3]{4}=-\frac{2}{3}$，
所以$\frac{2}{3}\log_{a}2=-\frac{2}{3}$，
则$a=\frac{1}{2}$，
所以$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x$，
故$f(\sqrt{2})=\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{2}=-\frac{1}{2}$.

3. 研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数$v = 5\log_{2}\frac{O}{10}$，单位是$m/s$，其中$O$表示燕子的耗氧量.那么当一只两岁燕子的耗氧量是$80$个单位时，它的飞行速度是15$m/s$.

答案： 3.答案:15
解析:将耗氧量$O=80$代入已知函数关
系式，
得$v=5\log_{2}\frac{80}{10}=5\log_{2}2^{3}=15( m/s)$.

1. 对数函数$y = \log_{a}x (a＞0，且a \neq 1)$的图象和性质

答案： 1.(0,+∞) 无最大、最小值 非奇非偶函数
(1,0) (-∞,0) [0,+∞) (0,+∞)
(-∞,0] x轴

[例1] (1)函数$f(x) = \log_{a}(2x - 1) + 2$的图象恒过定点(1,2)；
(2)如图所示的曲线是对数函数$y = \log_{a}x$，$y = \log_{b}x$，$y = \log_{c}x$，$y = \log_{d}x$的图象，则$a$，$b$，$c$，$d$与$1$的大小关系为b＞a＞1＞d＞c.

[分析] (1)注意$\log_{a}1 = 0$的应用.
(2)当$0 ＜ a ＜ 1$时，底数越小，图象越靠近$x$轴；当$a ＞ 1$时，底数越大，图象越靠近$x$轴.

答案： [例1] [答案]
(1)(1,2)
(2)b＞a＞1＞d＞c
[解析]
(1)令2x-1=1,得x=1,又f
(1)=2,故f(x)的图象恒过定点(1,2).
(2)由题图可知函数y=logₐx,y=logbx的底数a＞1,b＞1,函数y=logcx,y=logdx的底数0＜c＜1,0＜d＜1.
过点(0,1)作平行于x轴的直线(图略),则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c,d,a,b,显然b＞a＞1＞d＞c.