《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 对充分条件的理解
充分条件是某一个结论成立应具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论；或要使此结论成立，只要具备此条件就足够了.例如，$ x = -5 \Rightarrow x^2 = 25 $成立.并且当命题不具备此条件时，结论也有可能成立，例如，$ x = 5 \Rightarrow x^2 = 25 $也成立，所以“$ x = 5 $”是“$ x^2 = 25 $”的充分条件.

答案： 1.充分条件 充分条件

2. 设非空集合$ A = \{x | p(x)\} $，$ B = \{x | q(x)\} $.
若$ A \subseteq B $，则$ p $为$ q $的充分条件.

答案： 2.充分条件

[例3] “$ \dfrac{1}{x - 3} ＞ 0 $”是“$ x ＞ 2 $”的( )
[分析] 利用定义或对应集合关系判断即可.
A.充分条件
B.必要条件
C.不充分条件
D.无法判断

答案： [例3] [答案] A
[解析$] \frac{1}{x - 3} ＞ 0，$即x ＞ 3.
由于若x ＞ 3，则x ＞ 2为真命题.
因此$“\frac{1}{x - 3} ＞ 0”$为“x ＞ 2”的充分条件.

[例4] 已知$ M = \{x | a - 1 ＜ x ＜ a + 1\} $，$ N = \{x | -3 ＜ x ＜ 8\} $，若$ M $是$ N $的充分条件，求$ a $的取值范围.
[分析] 利用充分条件得$ M \Rightarrow N $，即$ M \subseteq N $来求$ a $的取值范围.

答案： [例4] [解]
∵ M是N的充分条件，
∴ M ⊆ N，
∴$ \begin{cases} a - 1 \geq -3, \\ a + 1 \leq 8, \end{cases}$
解得$ -2 \leq a \leq 7.$
故a的取值范围是$\{x | -2 \leq a \leq 7\}.$

3. 已知$ p $：$ -1 ＜ x ＜ 3 $，$ q $：$ x ＞ a $，若$ p $是$ q $的充分条件，则$ a $的取值范围为(D)

A.$ \{a | a ＞ 3\} $
B.$ \{a | a \geq 3\} $
C.$ \{a | a ＜ -1\} $
D.$ \{a | a \leq -1\} $

答案： 跟踪训练 3. D 设A = \{x | -1 ＜ x ＜ 3\}，B = \{x | x ＞ a\}，若p是q的充分条件，
则A ⊆ B，即a ≤ -1.

一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个.

答案： 充分条件

[例5] “四边形是平行四边形”的一个充分条件是“四边形的两组对角分别相等”，这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你还能再给出几个充分条件吗？
[分析] 寻找“四边形是平行四边形”的充分条件，本质上是四边形为平行四边形的判定定理.

答案： [例5] [解] 不唯一，如：“四边形的两组对边分别相等”；“四边形的一组对边平行且相等”；“四边形的两条对角线互相平分”等都是“四边形是平行四边形”的充分条件.

4. 使四边形为菱形的充分条件是(D)

A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直平分

答案： 跟踪训练 4. D 因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以对角线互相垂直平分是四边形为菱形的充分条件.