《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

3. (1)已知$f(x)=|x| - 2$，则$f(x)$分段函数的形式为，其值域为.
(2)设$f(x)=(x - k)^2 (k - 1 \leq x \leq k + 1, k \in \mathbf{Z})$，作出函数$y = f(x)$在$[-3, 3]$上的图象.

答案：

(1)答案：$f(x)=|x|-2=\begin{cases}x - 2, & x\geq0, \\-x - 2, & x＜0\end{cases}$ $[-2,+\infty)$
解析：$f(x)=|x|-2=\begin{cases}x - 2, & x\geq0, \\-x - 2, & x＜0\end{cases}$
函数的图象如图所示。

由图可知，$f(x)$的值域为$[-2,+\infty)$。
(2)解：$f(x)=\begin{cases}(x + 2)^{2}, & -3\leq x\leq -1, \\x^{2}, & -1＜ x＜1, \\(x - 2)^{2}, & 1\leq x\leq3\end{cases}$
图象如图。

利用分段函数解决有关几何及实际问题时，常常采用分类讨论的思想.

答案： 分类讨论

[例5] 如图所示，已知底角为$45°$的等腰梯形$ABCD$，底边$BC$长为$7 cm$，腰长为$2\sqrt{2} cm$，当垂直于底边$BC$(垂足为$F$)的直线$l$从左至右移动(与梯形$ABCD$有公共点)时，直线$l$把梯形分成两部分，令$BF = x$，试写出直线$l$左边部分的面积$y$关于$x$的函数解析式，并画出大致图象.

[分析] 先分析出当直线$l$从$B$点向右移动时左边部分分别是什么图形，然后根据得到的相应图形，直接套用公式计算其面积.

答案：
[解] 过点$A,D$分别作$AG\perp BC$，
$DH\perp BC$，垂足分别是$G,H$。

因为四边形$ABCD$是等腰梯形，底角为$45^{\circ}$，$AB = 2\sqrt{2} cm$，
所以$BG = AG = DH = HC = 2 cm$。
又$BC = 7 cm$，
所以$AD = GH = 3 cm$。
当点$F$在$BG$上，
即$0\leq x\leq2$时，$y=\frac{1}{2}x^{2}$；
当点$F$在$GH$上，即$2＜ x\leq5$时，$y=\frac{x + x - 2}{2}×2=2x - 2$；
当点$F$在$HC$上，即$5＜ x\leq7$时，$y=S_{五边形ABFED}=S_{梯形ABCD}-S_{Rt\triangle CEF}=\frac{1}{2}(7 + 3)×2-\frac{1}{2}(7 - x)^{2}=-\frac{1}{2}(x - 7)^{2}+10$。
综上，得函数的解析式为
$y=\begin{cases}\frac{1}{2}x^{2}, & 0\leq x\leq2, \\2x - 2, & 2＜ x＜5, \\-\frac{1}{2}(x - 7)^{2}+10, & 5＜ x\leq7\end{cases}$
图象如图所示。

4. 某市出租车的计价标准如下：$4 km$以内（包含$4 km$）$10$元，超过$4 km$且不超过$18 km$的部分$1.2$元/km，超过$18 km$的部分$1.8$元/km.
(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；
(2)如果某人乘车行驶了$20 km$，那么他要付多少车费?

答案： 解：
(1)设行车里程为$x km$，车费为$y$元。由题意知，
当$0＜ x\leq4$时，$y = 10$；
当$4＜ x\leq18$时，$y = 10 + 1.2(x - 4)=1.2x + 5.2$；
当$x＞18$时，$y = 10 + 1.2×14 + 1.8(x - 18)=1.8x - 5.6$。
所以，所求函数关系式为$y=\begin{cases}10, & 0＜ x\leq4, \\1.2x + 5.2, & 4＜ x\leq18, \\1.8x - 5.6, & x＞18\end{cases}$
(2)当$x = 20$时，$y = 1.8×20 - 5.6 = 30.4$。
所以他要付$30.4$元的车费。