《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 已知函数 $ f(x) = a^{x} + b(a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $.

(1) 若 $ f(x) $ 的图象如图①所示，求 $ a $，$ b $ 的值；
(2) 若 $ f(x) $ 的图象如图②所示，求 $ a $，$ b $ 的取值范围；
(3) 在(1)中，若 $ |f(x)| = m $ 有且仅有一个实数根，求 $ m $ 的取值范围.

答案：
跟踪训练　1.解:
(1)$f(x)$的图象过点$(2,0)$，$(0,-2)$，
所以$\begin{cases}a^{2}+b=0,\\a^{0}+b=-2.\end{cases}$
又因为$a＞0$，且$a\neq1$，
所以$a=\sqrt{3}$，$b=-3$。
(2)因为$f(x)$单调递减，所以$0＜a＜1$。
又$f(0)＜0$，即$a^{0}+b＜0$，所以$b＜-1$。
故$a$的取值范围为$(0,1)$，$b$的取值范围为$(-\infty,-1)$。
(3)画出$\vert f(x)\vert=\vert(\sqrt{3})^{x}-3\vert$的图象如图所示，要使$\vert f(x)\vert=m$有且仅有一个实数根，则$m=0$或$m\geq3$。
故$m$的取值范围为$\{0\}\cup[3,+\infty)$。