《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1.对于一般函数$y = f(x)$，我们把使$f(x)=0$的实数$x$叫做函数$y = f(x)$的零点.即函数$y = f(x)$的零点就是方程$f(x)=0$的实数解，也就是函数$y = f(x)$的图象与$x$轴的公共点的横坐标.

答案： 1.$f(x)=0$的实数$x$，$x$轴横

[例1] (1)求函数$f(x)=\begin{cases}x + 1, & x\leq0, \\ \log_{3}x, & x＞0\end{cases}$的所有零点组成的集合；
(2)若函数$f(x)=ax + 6(a\neq0)$有一个零点为$2$，求函数$g(x)=x^{2}-ax$的零点.
[分析] (1)对于分段函数，要分段求零点.
(2)利用函数零点与方程解的关系，求出$a$的值，再代入求零点.

答案： [例1]　[解]　
(1)当$x \leq 0$时，令$f(x)=0$，即$x + 1 = 0$，得$x = -1$；当$x ＞ 0$时，令$f(x)=0$，即$\log_{3}x = 0$，得$x = 1$。故$f(x)$的所有零点组成的集合为$\{ -1,1\}$。
(2)由$a × 2 + 6 = 0$，得$a = -3$，$g(x)=x^{2}+3x$。
令$x^{2}+3x = 0$，得$x_{1} = -3$，$x_{2} = 0$，所以函数$g(x)=x^{2}-ax$的零点为$-3$和$0$。

1.(1)求函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}+2x - 3, & x\leq0, \\ -2+\ln x, & x＞0\end{cases}$的零点；
(2)若函数$f(x)=ax + b(ab\neq0)$有一个零点是$2$，求$g(x)=bx^{2}+ax$的零点.

答案： 跟踪训练　1.解：
(1)当$x \leq 0$时，令$x^{2}+2x - 3 = 0$，解得$x = -3$；
当$x ＞ 0$时，令$-2 + \ln x = 0$，解得$x = e^{2}$。
所以函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}+2x - 3, & x \leq 0 \\ -2 + \ln x, & x ＞ 0\end{cases}$的零点为$-3$和$e^{2}$。
(2)由$f(2)=2a + b = 0$，得$b = -2a$，所以$g(x)= -2ax^{2}+ax$。
由$g(x)= -2ax^{2}+ax = 0$，$a \neq 0$，得$x_{1} = 0$，$x_{2}=\frac{1}{2}$。所以$g(x)$的零点为$0$和$\frac{1}{2}$。