《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例2] 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并指出它是真命题还是假命题.
(1)对顶角相等；
(2)$\exists x \in \mathbf{Z}, x^3 ＜ 1$；
(3)$\forall x \in \mathbf{R}, |x| + 1 \geq 2$；
(4)有一个实数$x$，使$x^2 + 2x + 4 = 0$.

答案： [例2] [解]
(1)全称量词命题，由定理：两直线相交，对顶角相等，故“对顶角相等”为真命题；
(2)存在量词命题，取$x=0,0^3＜1，$故$“∃x∈Z,x^3＜1”$为真命题；
(3)全称量词命题，取x=0,|0|+1＜2，故“x∈R,|x|+1≥2”是假命题；
(4)存在量词命题，对于方程$x^2+2x+4=0,Δ=2^2-4×4=-12＜0，$方程无解，“有一个实数，使$x^2+2x+4=0”$为假命题.

2.下列命题中是真命题的是①③④.
①所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；
②至少有一个整数$n$，使$n^2 + n$为奇数；
③负数的平方都是正数；
④$\exists$无理数$x$，$x^2$是无理数.

答案： 跟踪训练 2.答案：①③④
解析：①正确；②中，$n^2+n=n(n+1)，$而n∈Z时，n,n+1中一奇一偶，n(n+1)必为偶数，故②错误；③正确；④中，取x=π，$π^2$也是无理数，故④正确.

把命题的真假问题转化为其他数学问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.

答案： 真假问题

[例3] 已知集合$A = \{x \mid -2 \leq x \leq 5\}, B = \{x \mid m + 1 \leq x \leq 2m - 1\}$，且$B \neq \varnothing$，若命题$p$：“$\forall x \in B, x \in A$”是真命题，求$m$的取值范围.
[分析] 命题$p$：“$\forall x \in B, x \in A$”是真命题等价于$B \subseteq A$.

答案： [例3] [解] 由于命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题，
所以B⊆A，因为B≠∅，所以
m+1≤2m-1，
m+1≥-2，
2m-1≤5，
解得2≤m≤3.
即m的取值范围为{m|2≤m≤3}.

3.已知“$\forall x \in \mathbf{R}, |x| + 1 \geq a$”为真命题，则$a$的取值范围是{a|a≤1}.

答案： 跟踪训练 3.答案：{a|a≤1}
解析：由“∀x∈R,|x|+1≥a”为真命题知，a不大于|x|+1中的所有值，即a≤(|x|+1)_min，由(|x|+1)_min=1，
∴a≤1.

1.下列结论正确的个数是 (C)
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“$\forall x \in \mathbf{R}, x^2 + 2 ＜ 0$”是全称量词命题；
③命题“$\exists x \in \mathbf{R}, x^2 + 4x + 4 \leq 0$”是存在量词命题.

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 1.C

2.命题“有些负数满足不等式$(1 + x)(1 - 9x)^2 ＞ 0$”用“$\exists$”写成存在量词命题为∃x＜0，(1+x)(1-9x)^2＞0.

答案： 2.∃x＜0，$(1+x)(1-9x)^2＞0$

3.下列全称量词命题中，真命题的个数为1.
①$\forall x \in \mathbf{R}, x^2 + 2 ＞ 0$；②$\forall x \in \mathbf{N}, x^4 \geq 1$；③对任意$x$，$y$，都有$x^2 + y^2 \neq 0$.

答案： 3.答案：1
解析：①由于∀x∈R，都有$x^2≥0，$因而有$x^2+2≥2＞0，$即$x^2+2＞0，$所以命题“∀x∈R，$x^2+2＞0”$是真命题.②因为0∈N，当x=0时，$x^4≥1$不成立，所以命题“∀x∈N，$x^4≥1”$是假命题.③当x=y=0时，$x^2+y^2=0，$所以是假命题.