《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

例1
(1)(多选)若$a＞b＞0,c＜0$,则下列不等式中一定成立的是 (BCD)
A. $ac＞bc$
B. $a+c＞b+c$
C. $a^3＞b^3$
D. $a^2c＜b^2c$
(2)已知$a,b,c\in\mathbf{R}$,那么下列命题中正确的是 (C)
A. 若$a＞b＞0$,则$\sqrt{a}＜\sqrt{b}$
B. 若$\frac{a}{c}＞\frac{b}{c}$,则$a＞b$
C. 若$a^3＞b^3$且$ab＜0$,则$\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$
D. 若$a^2＞b^2$且$ab＞0$,则$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$
[分析] 利用不等式的性质判断命题的真假,不等式成立时要逻辑推证,不等式不成立可以取特值排除.

答案： [例1] [答案]
(1)BCD
(2)C
[解析]
(1)A中，取a=2,b=1,c=-1,所以ac=-2,bc=-1,不成立.B中，因为a＞b，所以a+c＞b+c.C中，因为a＞b＞0，所以$a^3＞b^3.D$中，因为a＞b＞0，所以$a^2＞b^2，$又因为c＜0，所以$a^2c＜b^2c.$
(2)A中，若a＞b＞0，则√a＞√b，故A错误；
B中，若a/c＞b/c，c＜0时，则a＜b，故B错误；C中，若a^3＞$b^3$且ab＜0，则1/a＞1/b，故C正确；D中，若$a^2＞b^2$且ab＞0，当{a＜0,b＜0}时，则1/a＞1/b，故D错误.

1.已知$a＞b＞0,c＜d＜0$,则下列不等式成立的是 (D)

A.$ac＞bc$
B.$c^2＜d^2$
C.$a+c＞b+d$
D.$\frac{c}{a}＞\frac{c}{b}$

答案： 跟踪训练 1.D A中，取a=2,b=1,c=-1，所以ac=-2,bc=-1，不成立.B中，取c=-2,d=-1，所以$c^2=4,d^2=1，$不成立.C中，取a=2,b=1,c=-2,d=-1，所以a+c=0=b+d，不成立.D中，因为a＞d＞0，所以1/a＜1/b.又因为c＜0，所以c/a＞c/b.

2.已知实数$0＜a＜1$,则下列不等式正确的是(A)

A.$\frac{1}{a}＞a＞a^2$
B.$a＞a^2＞\frac{1}{a}$
C.$a^2＞\frac{1}{a}＞a$
D.$\frac{1}{a}＞a^2＞a$

答案： 2.A 因为0＜a＜1，所以取a=1/2，逐一验证，可知A正确.

例2
若$a＞b＞0,c＜d＜0,e＜0$,求证:$\frac{e}{(a-c)^2}＞\frac{e}{(b-d)^2}$.
[分析] 利用不等式的性质,找到$(a-c)^2$与$(b-d)^2$的大小关系;也可以用作差法证明不等式.
变条件
本例条件不变的情况下,求证:$\frac{e}{a-c}＞\frac{e}{b-d}$.

答案： [例2] [证明]
∵c＜d＜0,
∴-c＞-d＞0.
又
∵a＞b＞0,
∴a-c＞b-d＞0.
∴$(a-c)^2＞(b-d)^2＞0.$
两边同乘以$1/[(a-c)^2(b-d)^2]，$得$1/[(a-c)^2]＜1/[(b-d)^2].$
又e＜0,
∴e/[(a-c)^2]＞$e/[(b-d)^2].$
[变条件] 证明：法一：
∵c＜d＜0,
∴-c＞-d＞0.
又a＞b＞0,
∴a-c＞b-d＞0,
∴0＜1/(a-c)＜1/(b-d).
∵e＜0,
∴-e/ (a-c)＞-e/(b-d)，不等式得证.
法二：-e/(a-c)-e/(b-d)=e[(b-d)-(a-c)]/[(a-c)(b-d)]
=e[(b-a)+(c-d)]/[(a-c)(b-d)].
∵a＞b＞0,c＜d＜0,
∴-c＞-d＞0.
∴a-c＞0,b-d＞0,b-a＜0,c-d＜0.
∴(b-a)+(c-d)＜0.
又
∵e＜0,
∴e[(b-a)+(c-d)]/[(a-c)(b-d)]＞0，
∴-e/(a-c)＞ -e/(b-d).

3.若$bc-ad\geqslant0,bd＞0$,求证:$\frac{a+b}{b}\leqslant\frac{c+d}{d}$.

答案： 跟踪训练 3. 证明：法一（不等式性质）：
∵bc-ad≥0,
∴bc≥ad,
∴bc+bd≥ad+bd，即b(c+d)≥d(a+b).
又bd＞0，两边同除以bd，得(a+b)/b≤(c+d)/d.
法二（作差法）：
∵(a+b)/b-(c+d)/d
=(ad+bd-bc-bd)/bd
=(ad-bc)/bd≤0，
∴(a+b)/b≤(c+d)/d.