《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

对数恒等式：当 $a＞0$ 且 $a\neq1$ 时，$a^{\log_a N}=$N.

答案： N

[例1] 计算：
(1)$27^{\log_3 2}=$$2\sqrt{2}$；
(2)$\log_3 3+3^{\log_3 2}=$3.
[分析] (1) 将底数化成 9，利用对数恒等式求解.
(2) 利用 $\log_a a = 1$ 和 $a^{\log_a N}=N(a＞0$，且 $a\neq1)$进行求值.

答案： [例1] [答案$] (1)2\sqrt{2} (2)3$
[解析]
(1)
∵$27=3^{3}=(3^{2})^{\frac{3}{2}}=9^{\frac{3}{2}}，$
∴$27^{\log_{3}2}=(9^{\frac{3}{2}})_{\log_{3}2}=(9^{\log_{3}2})^{\frac{3}{2}}=(2)^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}.$
$(2)\log_{3}3+3^{\log_{3}2}=1 + 2=3.$

[例2] 证明：对数恒等式 $a^{\log_a N}=N(a＞0$，且 $a\neq1,N＞0)$.
[分析] 设 $\log_a N = x(a＞0$，且 $a\neq1,N＞0)$，再将对数式化为指数式.

答案： [例2] [证明] 设$\log_{a}N=x(a＞0,$且a≠1,N＞0)，则有$a^{x}=N，$
再将$x=\log_{a}N$代入上式中，可得$a^{\log_{a}N}=N.$

1. 设 $a = \log_3 10$，$b = \log_3 7$，则 $3^{a - b}$的值为 (A)

A.$\frac{10}{7}$
B.$\frac{7}{10}$
C.$\frac{10}{49}$
D.$\frac{49}{10}$

答案： 跟踪训练$ 1.A 3^{a - b}=3^{a}÷3^{b}=3^{\log_{3}10}÷3^{\log_{3}7}=10÷7=\frac{10}{7}.$

2. 计算：(1)$\ln e+\ln 1+e^{\ln 3}=$4；
(2)$(\frac{1}{2})^{-1 + \log_{0.5} 4}=$8；
(3)$2^{3+\log_2 3}+3^{2 - \log_3 9}=$25；

答案： 2.答案：
(1)4
(2)8
(3)25
解析：$(1)\ln e+\ln1+e^{\ln3}=1 + 0+3=4.$
$(2)(\frac{1}{2})^{-1+\log_{2}4}=(\frac{1}{2})^{-1}×(\frac{1}{2})^{\log_{2}4}=2×4=8.$
$(3)2^{3+\log_{3}3}+3^{2-\log_{9}9}=2^{3}×2^{\log_{3}3}+\frac{3^{2}}{3^{\log_{3}9}}$
$=8×3+\frac{9}{9}=25.$

3. 求下列各式中的 $x$ 的值：
(1)$3^{2+\log_3 5}=x$；(2)$5^{2 - \log_5 3}=x$；
(3)$x = 2^{2+\log_2 3}+3^{2 - \log_3 9}$.

答案： 3.解：$(1)x=3^{2+\log_{3}5}=3^{2}×3^{\log_{3}5}=9×5=45.$
$(2)x=5^{2-\log_{5}3}=\frac{5^{2}}{5^{\log_{5}3}}=\frac{25}{3}.$
$(3)x=2^{2+\log_{3}3}+3^{2-\log_{9}9}=2^{2}×2^{\log_{3}3}+\frac{3^{2}}{3^{\log_{3}9}}$
=4×3+1=12 + 1=13.

如果$a＞0$，且$a\neq1,M＞0,N＞0$，那么
(1)$\log_a(MN)=$ $\log_a{M} + \log_a{N}$；
(2)$\log_a\frac{M}{N}=$ $\log_a{M} - \log_a{N}$；
(3)$\log_aM^n=$ $n\log_a{M}(n \in \mathbf{R})$.
注：(1)性质的逆运算仍然成立.
(2)公式成立的条件是$M＞0,N＞0$，而不是$MN＞0$，比如式子$\log_2[(-2)·(-3)]$有意义，而$\log_2(-2)$与$\log_2(-3)$都没有意义.
(3)性质(1)可以推广为：$\log_a(N_1· N_2··· N_k)=\log_aN_1+\log_aN_2+···+\log_aN_k$，其中$N_k＞0,k\in\mathbf{N}^*$.

答案：
(1)$\log_a{M} + \log_a{N}$
(2)$\log_a{M} - \log_a{N}$
(3)$n\log_a{M}(n \in \mathbf{R})$