《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 下列各题中，哪些$ p $为$ q $的充要条件？
(1) $ p $：三角形为等腰三角形，$ q $：三角形存在两角相等。
(2) $ p $：$ \odot O $内两条弦相等，$ q $：$ \odot O $内两条弦对应的圆周角相等。
(3) $ p $：$ A\cap B $为空集，$ q $：$ A $与$ B $之一为空集。

答案： 跟踪训练 1.解：
(1)由三角形为等腰三角形等价定义可知$p,q$可互相推出.
(2)利用定义可知,$p,q$为等价条件.
(3)$A\cap B$为空集，则$A,B$无公共元素，但不一定是空集，若$A,B$之一为空集，则$A\cap B$为空集，因此$p$为$q$必要不充分条件.
故在
(1)
(2)中,$p$为$q$的充要条件.

一般地，数学中的每个定义，都刻画了一个数学结论成立的充分必要条件。

答案： 充分必要

[例2]
“四边形两组对边分别平行”是“四边形为平行四边形”的充要条件，这样的充要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出其他几个“四边形为平行四边形”的充要条件吗？
[分析]
寻找“四边形为平行四边形”的充要条件，本质上是从不同角度刻画“平行四边形”这个概念。

答案： [例2] [解] 不唯一;如：四边形的两组对角分别相等;四边形的两组对边分别相等;四边形的一组对边平行且相等;四边形的对角线互相平分.

2. 分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件。

答案： 跟踪训练 2.解：两个三角形全等:边边边(SSS),边角边(SAS),角角边(AAS),边边角(ASA),斜边与一条直角边(HL)对应相等,均可得两三角形全等.
两个三角形相似:三边对应成比例,二组角对应相等,两边夹角相等且两边对应成比例,均可得到两三角形相似.

充分、必要、充要条件都具有传递性，具体如下：
(1) 若$ p\Rightarrow q $，$ q\Rightarrow s $，则有$ p\Rightarrow s $，即$ p $是$ s $的充分条件；
(2) 若$ q\Rightarrow p $，$ s\Rightarrow q $，则有$ s\Rightarrow p $，即$ p $是$ s $的必要条件；
(3) 若$ p\Leftrightarrow q $，$ q\Leftrightarrow s $，则有$ p\Leftrightarrow s $，即$ p $是$ s $的充要条件。

答案：
(1)充分条件
(2)必要条件
(3)充要条件

[例3]
$ p $是$ r $的充分不必要条件，$ q $是$ r $的必要不充分条件，$ s $是$ r $的必要条件，也是$ q $的充分条件。判断$ p $是$ q $的什么条件，$ p $是$ s $的什么条件。
[分析]
题中出现若干条件和结论，可以借助图示法中的传递性判断。

答案：
[例3] [解] 由题意得,$p,q,r,s$之间的关系.
如图:

$p$是$q$的充分不必要条件.
$p$是$s$的充分不必要条件.