《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

4. 若$ x＞0, y＞0, x + y = 1 $，求$ \frac{1}{x} + \frac{9}{y} $的最小值.

答案： 4. 解：
∵$ x + y=1,x＞0,y＞0 $，
∴$ \frac{1}{x}+\frac{9}{y}=(\frac{1}{x}+\frac{9}{y})(x + y)=10+\frac{9x}{y} $
$ +\frac{y}{x}\geqslant10 + 2\sqrt{\frac{9x}{y}·\frac{y}{x}}=16 $，
当且仅当$ \frac{9x}{y}=\frac{y}{x} $，即$ x=\frac{1}{4},y=\frac{3}{4} $时，等
号成立，
即$ \frac{1}{x}+\frac{9}{y} $的最小值为16.

5. 若$ x＞0, y＞0, xy = 9x + y $，求$ x + y $的最小值.

答案： 5. 解：
∵$ x＞0,y＞0,xy=9x + y $，
∴$ \frac{1}{x}+\frac{9}{y} $
$ =1 $，
∴$ x + y=(\frac{1}{x}+\frac{9}{y})(x + y)=10+\frac{9x}{y} $
$ +\frac{y}{x}\geqslant10 + 2\sqrt{\frac{9x}{y}·\frac{y}{x}}=16 $，
当且仅当$ \frac{9x}{y}=\frac{y}{x} $，即$ x=4,y=12 $时，等号
成立.
∴$ x + y $的最小值为16.

[例4] 若实数$ x, y $满足$ xy + 3x = 3 (0 ＜ x ＜ \frac{1}{2}) $，
则$ \frac{3}{x} + \frac{1}{y - 3} $的最小值为8.
[分析] $ xy + 3x = 3 $解出$ x $，代入$ \frac{3}{x} + \frac{1}{y - 3} $，再
用分离法求解.

答案： [例4] [答案] 8
[解析]
∵实数$ x,y $满足$ xy + 3x=3(0＜ $
$ x＜\frac{1}{2}) $，
∴$ x=\frac{3}{y + 3} $，
∴$ 0＜\frac{3}{y + 3}＜\frac{1}{2} $，解得$ y＞3 $.
则$ \frac{3}{x}+\frac{1}{y - 3}=y + 3+\frac{1}{y - 3}=y - 3+\frac{1}{y - 3} $
$ +6 $
$ \geqslant2\sqrt{(y - 3)·\frac{1}{y - 3}}+6=8 $，
当且仅当$ y=4,x=\frac{3}{7} $时，等号成立.

6. 已知$ x＞0, y＞0, xy = x + y + 3 $，求$ xy $的最小值.

答案： 6. 解：由题意可知$ y=\frac{x + 3}{x - 1} $，
所以$ xy=x·\frac{x + 3}{x - 1}=\frac{x^2 + 3x}{x - 1} $
$ =\frac{x^2 - 2x + 1 + 5x - 5 + 4}{x - 1}=x - 1+\frac{4}{x - 1}+5 $
$ \geqslant2\sqrt{4}+5=9 $，
当且仅当$ x - 1=\frac{4}{x - 1} $，即$ x=3 $时等号
成立.
所以$ xy $的最小值为9.

[例5] 已知正实数$ a, b $满足$ 2ab = a + b + 12 $，则
$ ab $的最小值是9.
[分析] 利用$ a + b \geq 2\sqrt{ab} (a＞0, b＞0) $，构造关
于$ \sqrt{ab} $的不等式.

答案： [例5] [答案] 9
[解析] 由$ 2ab=a + b + 12 $得，$ 2ab\geqslant2\sqrt{ab} $
$ +12 $，化简得$ (\sqrt{ab}-3)(\sqrt{ab}+2)\geqslant0 $，利用
实数运算性质，解得$ ab\geqslant9 $，所以$ ab $的最小
值是9.

7. 已知$ x＞0, y＞0, 2xy = x + y + 4 $，则$ x + y $的最小
值为4.

答案： 7. 答案:4
解析:由题知$ x＞0,y＞0 $，由基本不等式得
$ xy\leqslant(\frac{x + y}{2})^2 $，即$ x + y + 4\leqslant2× $
$ (\frac{x + y}{2})^2 $，
令$ t=x + y,t＞0 $，则有$ t + 4\leqslant2×(\frac{t}{2})^2 $，
整理得$ t^2 - 2t - 8\geqslant0,(t - 4)(t + 2)\geqslant0 $，利
用实数运算性质，得$ t\geqslant4 $，
即$ x + y\geqslant4 $，当且仅当$ x=y=2 $时等号成
立，所以$ x + y $的最小值为4.