《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. $ a $的$ n $次方根的定义
一般地,如果$\boldsymbol{x^{n}=a}$,那么$$x^n=a$x $叫做$ a $的$ n $次方根,其中$ n＞1 $,且$ n\in \mathbf{N}^{*} $.

答案： 1.$x^n=a$

2. $ a $的$ n $次方根的表示

答案： 2.$\pm\sqrt[n]{a}$

[例1] (多选)有下列四个命题,其中正确的是( )

A.正数的偶次方根是一个正数
B.正数的奇次方根是一个正数
C.负数的偶次方根是一个负数
D.负数的奇次方根是一个负数

答案： [例1] [答案] BD
[解析] AC错，BD正确.

1. 已知$ m^{10}=2 $,则$ m $等于(D)

A.$ \sqrt[10]{2} $
B.$ -\sqrt[10]{2} $
C.$ \sqrt{2^{10}} $
D.$ \pm\sqrt[10]{2} $

答案： 跟踪训练 1.D 由$m^{10}=2$,所以$m=\pm\sqrt[10]{2}$.

根式 式子$\boldsymbol{\sqrt[n]{a}}$叫做根式,这里$ n $叫做根指数,$ a $叫做被开方数
| 性质 | 当$ n＞1 $,且$ n\in \mathbf{N}^{*} $时,
① 当$ n $为奇数时,$ \sqrt[n]{a^{n}}=a $;
② 当$ n $为偶数时,$ \sqrt[n]{a^{n}}=\vert a \vert= \begin{cases} a,a\geqslant 0, \\ -a,a＜0 \end{cases} $ |
| :---: | :---: |
| 注意: | (1)$ \sqrt[n]{0}=0 $.
(2)负数没有偶次方根. |

答案： $\sqrt[n]{a}$ 根指数 被开方数

[例2] 求下列各式的值:
(1)$ (\sqrt{7})^{2} $;(2)$ \sqrt[5]{(-3)^{5}} $;(3)$ \sqrt[4]{(2x + 1)^{4}} $;
(4)$ \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}+\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} $.
[分析] 本题考查的是对$ (\sqrt[n]{a})^{n} $与$ \sqrt[n]{a^{n}} $的理解,求解的关键是注意$ a $的正、负与$ n $的奇、偶.

答案： [例2] [解]
(1)$(\sqrt[2]{7})^2=7$.
(2)$\sqrt[5]{(-3)^5}=-3$.
(3)$\sqrt[4]{(2x+1)^4}=\begin{cases}2x+1,x\geq-\frac{1}{2},\\-2x-1,x＜-\frac{1}{2}.\end{cases}$
(4) 原式$=\sqrt{(\sqrt{2})^2+2\sqrt{2}+1}+\sqrt{(\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}+1}$
$=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}=\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1=2\sqrt{2}$.