《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

2.利用单调性的定义，证明函数$y = \frac{x + 2}{x + 1}$在区间$(-1,+\infty)$上是减函数.

答案： 跟踪训练 2.证明：$\forall x_1, x_2 \in (-1, +\infty)$，且$x_1 ＜ x_2$，
则$f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_1 + 2}{x_1 + 1} - \frac{x_2 + 2}{x_2 + 1}$
$= \frac{x_2 - x_1}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)}$，
因为$-1 ＜ x_1 ＜ x_2$，所以$x_2 - x_1 ＞ 0, x_1 + 1 ＞ 0, x_2 + 1 ＞ 0$，
所以$\frac{x_2 - x_1}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)} ＞ 0$，
即$f(x_1) - f(x_2) ＞ 0, f(x_1) ＞ f(x_2)$.
所以$y = \frac{x + 2}{x + 1}$在$(-1, +\infty)$上是减函数.

根据函数的图象特征，若函数$f(x)$的图象在区间$I$上从左往右逐渐上升，则函数$f(x)$在区间$I$上是增函数;若函数$f(x)$的图象在区间$I$上从左往右逐渐下降，则函数$f(x)$在区间$I$上是减函数.

答案： 减函数

[例5] 作出函数$y = -x^{2} + 2|x| + 3$的图象，并指出该函数的单调区间.
[分析] 将函数写成分段函数，作出图象.观察图象特征，利用图象特征判断函数的单调性，写出单调区间.
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答案：
[例5] [解] 当$x \geq 0$时，$y = -x^2 + 2x + 3$；
当$x ＜ 0$时，$y = -x^2 - 2x + 3$.

所以$y = \begin{cases} -x^2 + 2x + 3, & x \geq 0 \\ -x^2 - 2x + 3, & x ＜ 0 \end{cases}$
画出该函数的图象如图所示，由图象知，该函数的单调递增区间是$(-\infty, -1], [0, 1]$；单调递减区间是$[-1, 0], [1, +\infty)$.

3.如图是定义在闭区间$[-5,3]$上的函数$y = f(x)$的图象，试判断其单调性.

答案： 跟踪训练 3.解：观察图象特征，利用图象特征判断函数的单调性.
由图象可知，函数$y = f(x)$的单调区间有$[-5, -2], [-2, 1], [1, 3]$. 其中函数$y = f(x)$在区间$[-5, -2], [1, 3]$上的图象从左往右是逐渐下降的，则函数$y = f(x)$在区间$[-5, -2], [1, 3]$上为减函数；函数$y = f(x)$在区间$[-2, 1]$上的图象从左往右是逐渐上升的，则函数$y = f(x)$在区间$[-2, 1]$上是增函数.