《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1.对数函数$y = \log_{a}x(a＞0$,且$a\neq1)$的值域利用函数的单调性求解.

答案： 1.单调性

2.求形如$y = \log_{a}f(x)(a＞0$,且$a\neq1)$的复合函数的值域，先求f(x)的值域，然后结合函数$y = \log_{a}x(a＞0$,且$a\neq1)$的性质确定函数$y = \log_{a}f(x)(a＞0$,且$a\neq1)$的值域.

答案： 2.f(x)

3.求形如$y = f(\log_{a}x)$的复合函数的值域，其中复合函数$f(\log_{a}x)(a＞0$,且$a\neq1)$一般是关于$\log_{a}x(a＞0$,且$a\neq1)$的二次函数，可采用换元法求解，注意新元的取值范围.
[例$2$] (1)函数$f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x^{2} + 2x + 3)$的值域是(-∞,-1]；
(2)函数$y = (\log_{\frac{1}{2}}x)^{2} - \frac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}}x + 5$在区间$[2,4]$上的最大值为10，最小值为$\frac{13}{2}$.
[分析] 明确函数的复合形式，由定义域求中间变量的范围，由中间变量的范围求函数值域.

答案： 3.换元法
[例2][答案]
(1)(-∞,-1]
(2)10$\frac{13}{2}$
[解析]
(1)f(x)=$\log_{\frac{1}{2}}(x^2+2x+3)$=$\log_{\frac{1}{2}}[(x+1)^2+2]$,因为$(x+1)^2+2≥2$,所以$\log_{\frac{1}{2}}[(x+1)^2+2]≤\log_{\frac{1}{2}}2$=-1,所以函数f(x)的值域是(-∞,-1].
(2)因为2≤x≤4,所以$\log_{\frac{1}{2}}2≥\log_{\frac{1}{2}}x≥\log_{\frac{1}{2}}4$,即-1≥$\log_{\frac{1}{2}}x≥$-2.
设t=$\log_{\frac{1}{2}}x$,则-2≤t≤-1,
所以y=$t^2-\frac{1}{2}t+5$,其图象的对称轴为直线t=$\frac{1}{4}$,因此y=$t^2-\frac{1}{2}t+5$在区间[-2,-1]上单调递减,
所以当t=-2,即$\log_{\frac{1}{2}}x$=-2,x=4时,y_max=10;
当t=-1,即$\log_{\frac{1}{2}}x$=-1,x=2时,y_min=$\frac{13}{2}$.

2.已知函数$f(x) = \log_{a}(1 + x) + \log_{a}(3 - x)(0 ＜ a ＜ 1)$,若函数$f(x)$的最小值为$-2$,求实数$a$的值.

答案： 2. 解：由题意得$\begin{cases} x+1＞0,\\ 3-x＞0, \end{cases}$解得-1＜x＜3.
f(x)=$\log_a[(1+x)(3-x)]$=$\log_a[-x^2+2x+3]$=$\log_a[-(x-1)^2+4]$,-1＜x＜3.
因为0＜a＜1,则当x=1时,f(x)有最小值log_a4,
所以log_a4=-2,即$a^{-2}=4$. 又0＜a＜1,
所以a=$\frac{1}{2}$.

3.已知函数$f(x) = \lg(ax^{2} + 2x + 1)$.
(1)若$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$,求实数$a$的取值范围；
(2)若$f(x)$的值域为$\mathbf{R}$,求实数$a$的取值范围.

答案： 3.解：
(1)若f(x)的定义域为R,则关于x的不等式ax^2+2x+1＞0的解集为R.当a=0时,x＞-$\frac{1}{2}$,这与x∈R相矛盾,所以a≠0;
当a≠0时,由题意得$\begin{cases} a＞0,\\ \Delta=4-4a＜0, \end{cases}$
解得a＞1,即实数a的取值范围为{a∣a＞1}.
(2)若f(x)的值域为R,则ax^2+2x+1能取遍所有的正数,
所以a=0或$\begin{cases} a＞0,\\ \Delta=4-4a≥0, \end{cases}$解得0≤a≤1.
即实数a的取值范围为{a∣0≤a≤1}.