《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例2] 已知函数$f(x)=\begin{cases} x + 1, & x \leq -2 \\ 3x + 5, & -2 ＜ x ＜ 2 \\ 2x - 1, & x \geq 2 \end{cases}$
(1)则$f(-5)=$-4，$f(f(-\frac{5}{2}))=$$\frac{1}{2}$.
(2)若$f(a)=3$，则实数$a=$$-\frac{2}{3}$或2.
[分析] (1)“对号入座”代入求值. 对$f(f(-\frac{5}{2}))$从内到外求函数的值. (2)分类讨论$a$的取值范围问题，再代入相应函数解析式求$a$的值.
[变条件] 若本例(2)的条件不变，将条件“$f(a)=3$”换为“$f(a^2 + 2) \geq a + 4$”，求实数$a$的取值范围.

答案： [答案]
(1)$-4$，$\frac{1}{2}$　
(2)$-\frac{2}{3}$或$2$
[解析]
(1)由$-5\in(-\infty,-2],-\frac{5}{2}\in(-\infty,-2]$，知$f(-5)= -5 + 1 = -4$，
$f(f(-\frac{5}{2}))=f(-\frac{5}{2}+1)=f(-\frac{3}{2})=3×(-\frac{3}{2})+5=\frac{1}{2}$。
(2)当$a\leq -2$时，$a + 1 = 3$，
即$a = 2＞-2$，不合题意，舍去。
当$-2＜ a＜2$时，$3a + 5 = 3$，
解得$a = -\frac{2}{3}$。
$\because -\frac{2}{3}\in(-2,2)$，
$\therefore a = -\frac{2}{3}$符合题意。
当$a\geq2$时，$2a - 1 = 3$，
即$a = 2$，符合题意。
综上可得，当$f(a)=3$时，$a = -\frac{2}{3}$或$a = 2$。
[变条件] 解：因为$a^{2}+2\geq2$，
所以$f(a^{2}+2)=2(a^{2}+2)-1 = 2a^{2}+3$，
所以不等式$f(a^{2}+2)\geq a + 4$化为$2a^{2}+3\geq a + 4$，
即$2a^{2}-a - 1\geq0$，
解得$a\geq1$或$a\leq-\frac{1}{2}$，
即实数$a$的取值范围是$(-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[1,+\infty)$。

2. 已知$f(x)=\begin{cases}x + 3 & (x ＞ 10) \\ f(f(x + 5)) & (x \leq 10)\end{cases}$，则$f(5)$的值是 ( )

A.24
B.21
C.18
D.16

答案： A $f(5)=f(f(10))$，$f(10)=f(f(15))=f(18)=21$，$f(5)=f(21)=24$。

作分段函数的图象时，应分别作出每一段的图象. 在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象.

答案： 每一段

[例3] 已知函数$f(x)= -x^2 + 2$，$g(x)=x$，令$\varphi(x)=\min\{f(x), g(x)\}$(即$f(x)$和$g(x)$中的较小者).
(1)分别用图象和解析式表示$\varphi(x)$；
(2)求函数$\varphi(x)$的定义域和值域.
[分析] 在同一个坐标系中画出函数$f(x)$，$g(x)$的图象，再根据$\varphi(x)$的含义求解.

答案：
[解]
(1)在同一个坐标系中画出函数$f(x),g(x)$的图象如图①。

(2)由图①中函数取值的情况，结合函数$\varphi(x)$的定义，可得函数$\varphi(x)$的图象如图②。

令$-x^{2}+2 = x$，得$x = -2$或$x = 1$。
结合图②，得出$\varphi(x)$的解析式为
$\varphi(x)=\begin{cases}-x^{2}+2, & x\leq -2, \\x, & -2＜ x＜1, \\-x^{2}+2, & x\geq1\end{cases}$
(2)由图②知，$\varphi(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$\varphi(1)=1$，
$\therefore\varphi(x)$的值域为$(-\infty,1]$。

[例4] 已知函数$f(x)=1 + \frac{|x| - x}{2} (-2 ＜ x \leq 2)$.
(1)用分段函数的形式表示$f(x)$；
(2)画出函数$f(x)$的图象；
(3)写出函数$f(x)$的值域.

答案：
[解]
(1)当$0\leq x\leq2$时，$f(x)=1+\frac{x - x}{2}=1$；
当$-2＜ x＜0$时，$f(x)=1+\frac{-x - x}{2}=1 - x$。
所以$f(x)=\begin{cases}1, & 0\leq x\leq2, \\1 - x, & -2＜ x＜0\end{cases}$
(2)函数$f(x)$的图象如图所示。

(3)由
(2)知，$f(x)$在$(-2,2]$上的值域为$[1,3)$。