《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1.子集概念

答案： 1.子集 $A \subseteq B$ $B \supseteq A$

2.Venn 图
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部
代表集合，这种图称为 Venn 图.

答案： 2.内部

[例 1] 指出下列各组集合之间的关系：
(1)$A = \{ - 1,1\}$，$B = \{ ( - 1, - 1),( - 1,1),(1, - 1)$，$(1,1)\}$；
(2)$A = \{ 2,3,6\}$，$B = \{ x|x$是 12 的约数$\}$；
(3)$A = \{ x|x$是等边三角形$\}$，$B = \{ x|x$是等腰三角形$\}$.
[分析] 搞清集合$A$与集合$B$中元素的特征性质，利用子集概念判断.

答案： [例1] [解]
(1)A的元素是数，B的元素是有序实数对，无包含关系。
(2)A的元素2,3,6都是12的约数，故它们都属于集合B，即$A \subseteq B$。
(3)等边三角形三边相等，等腰三角形只需两边相等，即$A \subseteq B$。

1.已知$A = \{ x|x$是正数$\}$，$B = \{ x|x$是正整数$\}$，$C = \{ x|x$是实数$\}$，那么$A$，$B$，$C$之间的关系是 (B)

A.$A \subseteq B \subseteq C$
B.$B \subseteq A \subseteq C$
C.$C \subseteq A \subseteq B$
D.$A = B \subseteq C$

答案：
跟踪训练 1.B 集合A,B,C的关系如图，所以$B \subseteq A \subseteq C$；

一般地，如果集合$A$的任何一个元素都是集合$B$的元素，同时集合$B$的任何一个元素都是集合$A$的元素，那么集合$A$与集合$B$相等，记作$A=B$.
也就是说，若$A \subseteq B$，且$B \supseteq A$，则$A = B$.

答案： 知识点2
$A=B$ $A \subseteq B$ $B \supseteq A$

[例 2] (1)下列等式成立的是 (A)
A.$\{ 1,2,3\} = \{ 2,1,3\}$
B.$\{ (1,2)\} = \{ 2,1\}$
C.$\{ (1,2)\} = \{ (2,1)\}$
D.$\{ (x,y)|x + y = 1\} = \{ y|x + y = 1\}$
(2)已知集合$M = \{ x|x = 3m - 1,m \in \mathbf{Z}\}$，集合$N = \{ x|x = 3n + 2,n \in \mathbf{Z}\}$，则$M$，$N$之间的关系
为M=N.
[分析] 看元素特征、元素是否相同.

答案： [例2] [答案]
(1)A
(2)M=N
[解析]
(1)选项A，$\{1,2,3\}=\{2,1,3\}$，正确；
选项B、C元素不相同，错误；
选项D，集合中元素分别是点与数，错误。
(2)由于$N=\{x \mid x=3(n+1)-1,n \in \mathbf{Z}\}$，$m,n \in \mathbf{Z}$，所以M=N。