《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 某汽车公司因发展需要,需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组).

答案： 1.解：设购买A型汽车和B型汽车分别为$x$辆、$y$辆，
则$\begin{cases}40x + 90y\leqslant1000,\\x\geqslant5,\\y\geqslant6,\\x,y\in\mathbf{N}^*.\end{cases}$

2. 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于96 $ \mathrm{m}^2 $,靠墙的一边长为$ x $ m.试用不等式(组)表示其中的不等关系.

答案： 2.解：由于矩形菜园靠墙的一边长为$x$m，而墙长为18m，所以$0 ＜ x\leqslant18$，
这时菜园的另一条边长为$\frac{30 - x}{2}=(15 - \frac{x}{2})$。
因此菜园面积$S = x·(15 - \frac{x}{2})$，依题意有$S\geqslant96$，
即$x(15 - \frac{x}{2})\geqslant96$，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为$\begin{cases}0 ＜ x\leqslant18,\\x(15 - \frac{x}{2})\geqslant96.\end{cases}$

1. 文字叙述:
如果$ a-b $是_______,那么$ a＞b $;
如果$ a-b $_______,那么$ a=b $;
如果$ a-b $是_______,那么$ a＜b $,反之也成立.

答案：

1.正数 等于0 负数

2. 符号表示:

答案： 2.$a - b ＞ 0$ $a - b = 0$ $a - b ＜ 0$ 差 0

[例3] (1)比较$ a^2-a $和$ a-2 $的大小;
(2)已知$ x\leqslant 1 $,比较$ 3x^3 $与$ 3x^2-x+1 $的大小.
[分析] (1)作差配方,与零比较.
(2)作差因式分解,与零比较.
[变条件] 把本例(2)中“$ x\leqslant 1 $”改为“$ x\in \mathrm{R} $”,再比较$ 3x^3 $与$ 3x^2-x+1 $的大小.

答案： [例3] [解]
(1)$\because(a^{2} - a) - (a - 2)$
$= a^{2} - 2a + 2 = (a^{2} - 2a + 1) + 1$
$= (a - 1)^{2} + 1 ＞ 0$，
$\therefore a^{2} - a ＞ a - 2$。
(2)$3x^{3} - (3x^{2} - x + 1) = (3x^{3} - 3x^{2}) + (x - 1)$
$= 3x^{2}(x - 1) + (x - 1)$
$= (3x^{2} + 1)(x - 1)$。
$\because x\leqslant1$得$x - 1\leqslant0$，而$3x^{2} + 1 ＞ 0$，
$\therefore(3x^{2} + 1)(x - 1)\leqslant0$，
$\therefore3x^{3}\leqslant3x^{2} - x + 1$。
[变条件] 解：$3x^{3} - (3x^{2} - x + 1) = (3x^{3} - 3x^{2}) + (x - 1)$
$= (3x^{2} + 1)(x - 1)$。
$\because3x^{2} + 1 ＞ 0$，
当$x ＞ 1$时，$x - 1 ＞ 0$，$\therefore3x^{3} ＞ 3x^{2} - x + 1$；
当$x = 1$时，$x - 1 = 0$，$\therefore3x^{3} = 3x^{2} - x + 1$；
当$x ＜ 1$时，$x - 1 ＜ 0$，$\therefore3x^{3} ＜ 3x^{2} - x + 1$；

3. 已知$ a\in \mathrm{R} $,且$ a\neq 1 $,比较$ a+2 $与$ \dfrac{3}{1-a} $的大小.

答案： 3.解：$(a + 2) - \frac{3}{1 - a} = \frac{(a + 2)(1 - a) - 3}{1 - a} = \frac{a^{2} + a + 1}{a - 1}$。
因为$a^{2} + a + 1 = (a + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} ＞ 0$，
所以当$a ＞ 1$时，$\frac{a^{2} + a + 1}{a - 1} ＞ 0$，即$a + 2 ＞ \frac{3}{1 - a}$；
当$a ＜ 1$时，$\frac{a^{2} + a + 1}{a - 1} ＜ 0$，即$a + 2 ＜ \frac{3}{1 - a}$；
故当$a ＞ 1$时，$a + 2 ＞ \frac{3}{1 - a}$；
当$a ＜ 1$时，$a + 2 ＜ \frac{3}{1 - a}$。