《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

3. 指数型函数模型
f(x)=$ab^{x} +c$.(a,b,c 为常数$,a\ne0,b＞0,$且$b\ne1)$

答案： 3.$ab^{x} +c$

[例1] 据观测统计,某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约 1 000 只,并以平均每年 8%的速度增加.
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；
(2)写出$y$(珍稀鸟类的个数)关于$x$(经过的年数)的函数关系式；
(3)约经过多少年以后,这种鸟类的个数达到现有个数的 3 倍或以上？(结果为整数)(参考数据:$\lg 2\approx0.3010$,$\lg 3\approx0.4771$)
[分析] 根据题意结合指数型函数模型分析.

答案： [解]
(1)依题意，得一年后这种鸟类的个数为$1000 + 1000 × 8\% = 1080$，
两年后这种鸟类的个数为$1080 + 1080 × 8\% \approx 1166$.
(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数为$1000$只，并以平均每年$8\%$的速度增加，
则所求的函数关系式为$y = 1000 × 1.08^{x}$（$x \in \mathbf{N}$）.
(3)令$1000 × 1.08^{x} \geqslant 3 × 1000$，得$1.08^{x} \geqslant 3$，两边取常用对数得$\lg 1.08^{x} \geqslant \lg 3$，
即$x\lg 1.08 \geqslant \lg 3$.
因为$\lg 1.08 ＞ 0$，所以$x \geqslant \frac{\lg 3}{\lg 1.08}$，
所以$x \geqslant \frac{\lg 3}{\lg 108 - 2}$.
因为$\lg 108 = \lg(3^{3} × 2^{2}) = 3\lg 3 + 2\lg 2$，
所以$x \geqslant \frac{\lg 3}{3\lg 3 + 2\lg 2 - 2} \approx \frac{0.4771}{3 × 0.4771 + 2 × 0.3010 - 2} \approx 14.3$，
故约经过$15$年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的$3$倍或以上.

1. 一片森林原来面积为$a$,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少$p\%$,$10$年后森林面积变为$\frac{a}{2}$.为保护生态环境,所剩森林面积至少要为原面积的$\frac{1}{4}$.已知到今年为止,森林面积为$\frac{\sqrt[3]{2}}{2}a$.
(1)求$p\%$的值；
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？

答案：
(1)由题意得，$a(1 - p\%)^{10} = \frac{a}{2}$，
即$(1 - p\%)^{10} = \frac{1}{2}$，
解得$p\% = 1 - (\frac{1}{2})^{\frac{1}{10}}$.
(2)设经过$m$年森林面积为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
则$a(1 - p\%)^{m} = \frac{\sqrt{2}}{2}a$，
即$(\frac{1}{2})^{\frac{m}{10}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}$，得$\frac{m}{10} = \frac{1}{2}$，解得$m = 5$.故到今年为止，已砍伐了$5$年.
(3)设从今年开始，$n$年后森林面积为$\frac{\sqrt{2}}{2}a(1 - p\%)^{n}$，
令$\frac{\sqrt{2}}{2}a(1 - p\%)^{n} \geqslant \frac{1}{4}a$，即$(1 - p\%)^{n} \geqslant \frac{\sqrt{2}}{4}$，$(\frac{1}{2})^{\frac{n}{10}} \geqslant (\frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}$，得$\frac{n}{10} \leqslant \frac{3}{2}$，解得$n \leqslant 15$，故今后最多还能砍伐$15$年.