《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例 4] 判断并证明函数 $ f(x) = x^{3} $ 的单调性。
[分析] 利用图象判断 $ f(x) = x^{3} $ 在 $ \mathbf{R} $ 上是增函数，再利用增函数的定义证明。

答案： [证明] 函数$f(x)=x^3$在R上是增函数，证明如下:
函数的定义域是R
$\forall x_1,x_2\in R$,且$x_1＜x_2$，有
$f(x_1)-f(x_2)=x_1^3-x_2^3=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)$.
因为$x_1＜x_2$，所以$x_1-x_2＜0$，
$x_1^2+x_1x_2+x_2^2=(x_1+\frac{1}{2}x_2)^2+\frac{3}{4}x_2^2＞0$，
因此$f(x_1)-f(x_2)＜0$，
即$f(x_1)＜f(x_2)$，
所以幂函数$f(x)=x^3$在R上是增函数.

3. (1)比较下列各组数的大小。
① $ (\frac{2}{5})^{0.5} $ 与 $ (\frac{1}{3})^{0.5} $；② $ (-\frac{2}{3})^{-1} $ 与 $ (-\frac{3}{5})^{-1} $。
(2)证明函数 $ f(x) = \sqrt{x} $ 是增函数。

答案：
(1)解:①因为幂函数$y=x^{0.5}$在$(0,+\infty)$上是单调递增的，又$\frac{2}{5}＞\frac{1}{3}$，所以$(\frac{2}{5})^{0.5}＞(\frac{1}{3})^{0.5}$.
②因为幂函数$y=x^{-1}$在$(-\infty,0)$上是单调递减的，又$-\frac{2}{3}＜-\frac{3}{5}$，所以$(-\frac{2}{3})^{-1}＞(-\frac{3}{5})^{-1}$.
(2)证明:函数的定义域是$[0,+\infty)$.
设$\forall x_1,x_2\in[0,+\infty)$，且$x_1＜x_2$，有
$f(x_1)-f(x_2)=\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}=\frac{(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}=\frac{x_1 - x_2}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}$
因为$x_1 - x_2＜0$，$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}＞0$，
所以$f(x_1)＜f(x_2)$，即幂函数$f(x)=\sqrt{x}$是增函数.

1. 下列函数中不是幂函数的是 (C)

A.$ y = \sqrt{x} $
B.$ y = x^{2} $
C.$ y = x + 1 $
D.$ y = x^{-\frac{1}{3}} $

答案： 1.C 根据幂函数的定义，$y=x + 1$不是幂函数.

2. 函数 $ f(x) = -x^{3} $ 的图象是 (B)

答案： 2.B $f(x)=-x^3$与幂函数$y=x^3$的图象关于$x$轴对称，因此选项B的图象适合.

3. 已知幂函数的图象过点 $ (2, 4) $，则其解析式为 $y=x^2$。

答案： 3.答案:$y=x^2$
解析:设幂函数$y=x^{\alpha}$，由已知，$2^{\alpha}=4$，$\alpha = 2$，所以其解析式为$y=x^2$.

4. 已知 $ 2.4^{\alpha} ＞ 2.5^{\alpha} $，则 $ \alpha $ 的取值范围是 $(-\infty,0)$。

答案： 4.答案:$(-\infty,0)$
解析:因为$0＜2.4＜2.5$，而$2.4^{\alpha}＞2.5^{\alpha}$，所以$y=x^{\alpha}$在$(0,+\infty)$上为减函数.故$\alpha＜0$.