《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

2. 若函数 $ f(x) $ 是 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数，且当 $ x＜0 $ 时，$ f(x)=x(x - 1) $，则当 $ x＞0 $ 时，$ f(x)= $$x(x + 1)$.

答案： 跟踪训练 2.答案：$x(x + 1)$
解析：当$x＞0$时，$-x＜0$，则$f(-x)=-x(-x - 1)=x(x + 1)$．因为函数$f(x)$为$\mathbf{R}$上的偶函数，所以当$x＞0$时，$f(x)=f(-x)=x(x + 1)$．

首先注意函数定义域关于原点对称，参数一般存在于两个位置，一是定义域，二是解析式，再根据 $ f(-x) $ 与 $ f(x) $ 的关系求得解析式中的参数.

答案： 知识点3 关于原点对称

[例 3]
(1) 若函数 $ f(x)=\frac{x}{(2 x - 1)(x + a)} $ 为奇函数，则 $ a = $()
A. $ \frac{1}{2} $
B. $ \frac{2}{3} $
C. $ \frac{3}{4} $
D. $ 1 $
(2) 已知函数 $ f(x)=\begin{cases}x^{2}+x, x \leq 0, \\ a x^{2}+b x, x＞0\end{cases}$ 为奇函数，则 $ a = $ ______ ，$ b = $ ______ .
[分析]
这是一类已知函数奇偶性，逆向探索参数的问题. 对于这类问题可以根据定义进行求解，但我们更提倡记住常见奇、偶函数的特征对比解决，还要注意特殊化思想的应用.

答案： [例3][答案]
(1)A
(2)$-1\ 1$
[解析]
(1)$\because f(x)$为奇函数，
$\therefore f(-x)=-f(x)$，
$\because \dfrac {-x}{-2x - 1}(-x + a)=\dfrac {-x}{(2x - 1)(x + a)}$，
$\therefore (-2x - 1)(-x + a)=(2x - 1)(x + a)$，
$\therefore 2x^{2}+(1 - 2a)x - a=2x^{2}+(2a - 1)x - a$，
$\therefore 1 - 2a=2a - 1$，
$\therefore a=\dfrac {1}{2}$．
经验证$f(x)=\dfrac {x}{(2x - 1)(x + \dfrac {1}{2})}$，定义域关于原点对称，
且满足$f(-x)=-f(x)$，故$a=\dfrac {1}{2}$．
(2)由题意知$\begin{cases}f(2)=-f(-2),\\f(1)=-f(-1),\end{cases}$则$\begin{cases}4a + 2b=-2,\\a + b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=1.\end{cases}$
经检验，当$a=-1$，$b=1$时，$f(x)$为奇函数.

3. 设函数 $ f(x)=\frac{(x + 1)(x + a)}{x} $ 为奇函数，则 $ a = $$-1$.

答案： 跟踪训练 3.答案：$-1$
解析：因为$f(x)$为奇函数，
所以$f(-x)=-f(x)$，即$\dfrac {-x}{-x + 1}(-x + a)=-\dfrac {x}{x + a}$，
显然$x\neq 0$，整理得$x^{2}-(a + 1)x + a=x^{2}+(a + 1)x + a$，故$a + 1=0$，得$a=-1$．