《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

2. 下列四个集合中，不同于另外三个的是 (B)

A.$\{ y|y = 2\}$
B.$\{ x = 2\}$
C.$\{ 2\}$
D.$\{ x|x^{2} - 4x + 4 = 0\}$

答案： 跟踪训练 2.B 对于选项A、C、D中的集合，元素都是实数2，而选项B中的集合的元素是等式$x=2$，因此选项B不同于另外三个。

1.真子集

答案： 知识点3
1.真子集 $A \subsetneqq B$ $B \supsetneqq A$ $A \subseteq C$ $A \supseteq B$

2.空集

答案： 2.空集 $\varnothing \subseteq A$ $\varnothing \subseteq \varnothing$ $\varnothing \subsetneqq A$

[例 3] 若集合$M = \{ x|x = \frac{k}{2} + \frac{1}{4},k \in \mathbf{Z}\}$，集合$N = \{ x|x = \frac{k}{4} + \frac{1}{2},k \in \mathbf{Z}\}$，则 ( )
A.$M = N$
B.$N \subseteq M$
C.$M \subsetneqq N$
D.以上均不对

答案： [例3] [答案] C
[解析] $M=\left\{x \mid \frac{k}{2}+\frac{1}{4},k \in \mathbf{Z}\right\}=\left\{x \mid \frac{2k+1}{4},k \in \mathbf{Z}\right\}$
$N=\left\{x \mid x=\frac{k}{4}+\frac{1}{2},k \in \mathbf{Z}\right\}=\left\{x \mid x=\frac{k+2}{4},k \in \mathbf{Z}\right\}$
又$2k+1,k \in \mathbf{Z}$为奇数，$k+2,k \in \mathbf{Z}$为整数，所以$M \subsetneqq N$。

3. 下列各组关系正确的是①②④.
①$\{ a\} \subseteq \{ a\}$
②$\varnothing \subsetneqq \{ 0\}$
③$0 \subseteq \{ 0\}$
④$\{ 1\} \subsetneqq \{ x|x \leq 2\}$
⑤$\{ 1,2\} \subsetneqq \{ 2,3\}$

答案： 跟踪训练 3.答案：①②④
解析：①$\{a\}=\{a\}$，$\therefore \{a\} \subseteq \{a\}$。
②$\varnothing$为任何非空集合真子集，$\{0\}$为非空集合，因此$\varnothing \subsetneqq \{0\}$。
③0为元素，$\{0\}$为集合，应为$0 \in \{0\}$。
④1符合$x \leq 2$，因此$\{1\} \subsetneqq \{x \mid x \leq 2\}$。
⑤$1 \in \{1,2\}$，$1 \notin \{2,3\}$，因此集合$\{1,2\}$不是集合$\{2,3\}$的子集。

1. 已知集合$M = \{ x|y^{2} = 2x\}$和集合$P = \{ (x,y)|y^{2} = 2x\}$，则两个集合间的关系是 (D)

A.$M \subseteq P$
B.$P \subseteq M$
C.$M = P$
D.$M$，$P$互不包含

答案： 课堂达标·素养提升
1.D 由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含。

2. 下列四个集合中，是空集的是 (B)

A.$\{ 0\}$
B.$\{ x|x ＞ 8$，且$x ＜ 5\}$
C.$\{ x \in \mathbf{N}|x^{2} - 1 = 0\}$
D.$\{ x|x ＞ 4\}$

答案： 2.B 不存在同时满足大于8且小于5的实数，故选项B是空集。

3. 已知集合$A = \{ - 1,3,m\}$，$B = \{ 3,4\}$，若$B \subseteq A$，则实数$m =$4.

答案： 3.解析：$\because B \subseteq A$，$B=\{3,4\}$，$A=\{-1,3,m\}$，$\therefore 4 \in A$，$\therefore m=4$。

4.设$a$，$b \in \mathbf{R}$，集合$A = \{ 1,a\}$，$B = \{ x|x(x - a) · (x - b) = 0\}$，若$A = B$，则$a =$0，$b =$1.

答案： 4.答案：0 1
解析：$A=\{1,a\}$，解方程$x(x - a)(x - b)=0$，得$x=0$或$a$或$b$，若$A=B$，则$a=0$，$b=1$。