《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 基本不等式：如果 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则$\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}$，当且仅当$a=b$时，等号成立. 其中$\frac{a+b}{2}$叫做正数 $a$，$b$ 的算术平均数，$\sqrt{ab}$叫做正数 $a$，$b$ 的几何平均数. 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

答案： 1.$\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}$ $a=b$ $\frac{a+b}{2}$ $\sqrt{ab}$ 不小于

2. 几何解释：圆中半径不小于半弦.

答案： 2.半弦

[例 1](多选)下列说法正确的是( )
A.对 $\forall a,b\in \mathbf{R}$，$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$ 成立
B.若 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$ 且 $a \neq b$，则 $a + b ＞ 2\sqrt{ab}$
C.对 $\forall a,b\in \mathbf{R}$，$a^2 + b^2 \geq 2ab$
D.若 $x ＞ 2$，则 $x + \frac{1}{x} \geq 2$ 中可以取等号

答案： [例1] [答案] BC
[解析] A项，当$a=-1,b=-1$时，不等式不成立；
D项，$x+\frac{1}{x} \geqslant 2\sqrt{x · \frac{1}{x}}=2$时取等号的条件为$x=\frac{1}{x}$，无解，不等式中不可取等号.

1.(多选)下列推导过程正确的有(AC)

A.若 $a$，$b$ 为正实数，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2\sqrt{\frac{b}{a} · \frac{a}{b}} = 2$
B.若 $a \in \mathbf{R}$，$a \neq 0$，则 $\frac{4}{a} + a \geq 2\sqrt{\frac{4}{a} · a} = 4$
C.若 $x$，$y \in \mathbf{R}$，$xy ＜ 0$，则 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = -[(-\frac{x}{y}) + (-\frac{y}{x})] \leq -2\sqrt{(-\frac{x}{y}) · (-\frac{y}{x})} = -2$
D.若 $a ＜ 0$，$b ＜ 0$，则 $\frac{a^2 + b^2}{2} ＜ ab$

答案： 跟踪训练 1.AC $\because a,b$为正实数，$\therefore \frac{b}{a}$为正实数，符合基本不等式的条件，故 A正确；
$a \in R,a \neq 0$，不符合基本不等式的条件，故 B错误；
由$xy＜0$，得$\frac{x}{y},\frac{y}{x}$均为负数，但在推导过程中将整体$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$提出负号后，$-\frac{x}{y}- \frac{y}{x}$均变为正数，符合基本不等式的条件，故 C正确；
对任意的$a,b \in R$，都有$a^{2}+b^{2} \geqslant 2ab$，即$\frac{a^{2}+b^{2}}{2} \geqslant ab$，故 D错误.

[例 2]（1）已知 $x ＞ 0$，求 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值；
（2）当 $0 ＜ x ＜ 10$ 时，求 $\sqrt{x(10 - x)}$ 的最大值.

答案： [例2] [解]
(1)因为$x＞0$，所以$x+\frac{4}{x} \geqslant 2\sqrt{x · \frac{4}{x}}=4$.当且仅当$x=\frac{4}{x}$，即$x^{2}=4$，$x=2$时等号成立，因此所求的最小值为4.
(2)因为$0＜x＜10$，所以$\sqrt{x(10-x)} \leqslant \frac{x+(10-x)}{2}=5$.当且仅当$x=10-x$，即$x=5$时等号成立，因此所求的最大值为5.

2.（1）已知 $x ＞ 0$，求 $x + \frac{1}{x} - 1$ 的最小值；
（2）当 $x ＜ 0$ 时，求 $x + \frac{4}{x}$ 的最大值.

答案： 跟踪训练 2.解：
(1)因为$x＞0$，所以$x+\frac{1}{x} \geqslant 2\sqrt{x · \frac{1}{x}}=2$.
则$x+\frac{1}{x}-1 \geqslant 1$.
当且仅当$x=\frac{1}{x}$，即$x^{2}=1,x=1$时等号成立.因此所求的最小值为1.
(2)$x+\frac{4}{x}=-(-x+\frac{4}{-x})$，
因为$x＜0$，则$-x＞0$，
故有$-x+\frac{4}{-x} \geqslant 2\sqrt{(-x) · \frac{4}{-x}}=4$，
所以$-(-x+\frac{4}{-x}) \leqslant -4$，当且仅当$-x=\frac{4}{-x}$，即$x=-\frac{4}{-2}$即$x=-2$时等号成立.
故所求的最大值为-4.