《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

已知集合$A$中有$n$个元素，则
(1)该集合的子集有2ⁿ个；
(2)该集合的真子集有(2ⁿ−1)个；
(3)该集合的非空子集有(2ⁿ−1)个；
(4)该集合的非空真子集有(2ⁿ−2)个.

答案：
(1)2ⁿ　
(2)(2ⁿ−1)　
(3)(2ⁿ−1)　
(4)(2ⁿ−2)

[例1] (1)集合$M = \{ 1,2,3\}$的真子集个数是 (B)
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
(2)若$\{ 1,2,3\} \subseteq A \subseteq \{ 1,2,3,4,5\}$，则满足条件的集合$A$的个数为
(B)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
[分析] 用列举法或公式法求解即可.

答案： [例1]　[答案]　
(1)B　
(2)B
[解析]　
(1)法一：集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个元素为∅，含有1个元素有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}，{1,3}和{2,3}，共有7个真子集.
法二：由题意知集合M中元素的个数为3，则其真子集个数为2³−1=7.
(2)集合{1,2,3}是集合A的真子集，同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集，所以集合A只能取集合{1,2,3,4}，{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.

1. 已知集合$A = \{ x \mid 0 \leq x ＜ 4$，且$x \in \mathbf{N}\}$，则$A$的真子集的个数是
(B)

A.16
B.15
C.7
D.8

答案： 跟踪训练1. B
∵A={0,1,2,3}，
∴集合A的真子集的个数为2⁴−1=15.

2. 已知集合$A = \{ a_1, a_2, a_3 \}$的所有非空真子集的元素之和等于$9$，则$a_1 + a_2 + a_3$等于
(C)

A.1
B.2
C.3
D.6

答案： 2. C　集合A={a₁,a₂,a₃}的所有非空真子集有：{a₁}，{a₁,a₂}，{a₁,a₃}，{a₂}，{a₂,a₃}，{a₃}，故3(a₁+a₂+a₃)=9，即a₁+a₂+a₃=3.

3. 已知集合$A, B, C$，且$A \subseteq B, A \subseteq C$，若$B = \{ 1,2,3,4 \}$，$C = \{ 0,1,2,3 \}$，则所有满足要求的集合$A$的各个元素之和为24.

答案： 3.答案：24
解析：
∵集合A,B,C,且A⊆B，A⊆C，B={1,2,3,4}，C={0,1,2,3}，
集合A是两个集合的子集，集合B,C的公共元素是1,2,3，
满足上述条件的集合A=∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，
所有满足要求的集合A的各个元素之和为：4(1+2+3)=24.

解决集合相关问题时，可利用Venn图、数轴和平面直角坐标系等图示形象直观地判断集合间的关系. 一般地，判断不等式的解集之间的关系适合画出数轴.

答案： 考点2
Venn图　数轴　数轴

[例2] 下列能正确表示集合$M = \{ -1,0,1\}$和$N = \{ x \mid x^2 + x = 0\}$的关系的Venn图是 (B)

[分析] 将集合$N$进行化简，再利用Venn图解决问题.

答案： [例2]　[答案]　B
[解析]
∵N={x|x²+x=0}={x|x=0,或x=−1}={0,−1}，
∴N⊊M.

[例3] 已知集合$A = \{ x \mid -2 \leq x \leq 5 \}$，$B = \{ x \mid m + 1 \leq x \leq 2m - 1\}$，若$B \subseteq A$，求实数$m$的取值范围.

[变条件1] 若本例条件“$A = \{ x \mid -2 \leq x \leq 5 \}$”改为“$A = \{ x \mid -2 ＜ x ＜ 5 \}$”，其他条件不变，求$m$的取值范围.
[变条件2] 若本例条件“$B \subseteq A$”改为“$A \subseteq B$”，其他条件不变，求$m$的取值范围.

答案：
[例3]　[解]　
(1)当B=∅时，由m+1＞2m−1，得m＜2.
(2)当B≠∅时，如图所示

m+1≥−2,　　　m+1＞−2,
∴{2m−1＜5,　　或{2m−1＜5,
　2m−1≥m+1　　2m−1≥m+1,
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}.
[变条件1]　解：
(1)当B=∅时，由m+1＞2m−1，得m＜2.
(2)当B≠∅时，如图所示，

m+1＞−2,　　　　　m＞−3,
∴{2m−1＜5,　　解得{m＜3,　即2≤m＜3.
　m+1≤2m−1,　　　m≥2,
综上可得，m的取值范围是{m|m＜3}.
[变条件2]　解：当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.

2m−1＞m+1,　　　m＞2,
∴{m+1≤−2,　　即{m≤−3,
∴m不存在.
　2m−1≥5,　　　　　m≥3,
即不存在实数m使A⊆B.