《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 已知集合$M = \{ x \mid - 3 ＜ x \leq 5\}$，$N = \{ x \mid x ＜ - 5$，或$x ＞ 5\}$，则$M \cup N =$ (A)

A.$\{ x \mid x ＜ - 5$，或$x ＞ - 3\}$
B.$\{ x \mid - 5 ＜ x ＜ 5\}$
C.$\{ x \mid - 3 ＜ x ＜ 5\}$
D.$\{ x \mid x ＜ - 3$，或$x ＞ 5\}$

答案：
●课堂达标·素养提升
1.A 如图，作数轴.

可得M∪N={x|x ＜ - 5,或x ＞ - 3}.

2. 若集合$A = \{ x \mid - 5 ＜ x ＜ 2\}$，$B = \{ x \mid - 3 ＜ x ＜ 3\}$，则$A \cap B =$ (A)

A.$\{ x \mid - 3 ＜ x ＜ 2\}$
B.$\{ x \mid - 5 ＜ x ＜ 2\}$
C.$\{ x \mid - 3 ＜ x ＜ 3\}$
D.$\{ x \mid - 5 ＜ x ＜ 3\}$

答案： 2.A 在数轴上将集合A,B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B={x|-3＜x＜2}.

3. 已知集合$A = \{ 1,2,m\}$，$B = \{ 2,4\}$，若$A \cup B = \{ 1,2,3,4\}$，则实数$m =$$3$.

答案： 3.答案：3
解析：
∵集合A={1,2,m},B={2,4},且A∪B={1,2,3,4},
∴m = 3.

4. 若集合$A = \{ x \mid - 1 \leq x ＜ 2\}$，$B = \{ x \mid x \leq a\}$，若$A \cap B \neq \varnothing$，则实数$a$的取值范围是$\{a|a\geq - 1\}$.

答案： 4.答案：{a|a≥ - 1}
解析：A={x|-1≤x＜2},B={x|x≤a},由A∩B≠∅,得a≥ - 1.

1. 全集的概念
一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作$U$。

答案： 1. 所有全集$U$

2. 补集的概念

答案： 2. 不属于$\complement_U A$ $\{x|x\in U, 且x\notin A\}$

[例 1]
(1) 已知全集 $ U = \{ x | x \leq 5 \} $，集合 $ A = \{ x | - 3 \leq x ＜ 5 \} $，则 $ \complement_{U}A = $_______。
(2) 已知全集为 $ U $，集合 $ A = \{ 1,3,5,7 \} $，$ \complement_{U}A = \{ 2,4,6 \} $，$ \complement_{U}B = \{ 1,4,6 \} $，则集合 $ B = $_______。
(3) 已知全集 $ U = \mathbf{R} $，集合 $ A = \{ x | x ＜ - 1 $，或 $ x ＞ 4 \} $，$ B = \{ x | - 2 \leq x \leq 3 \} $，那么阴影部分表示的集合为_______。

答案：
[例1][答案]
(1)$\{x|x＜-3, 或x=5\}$
(2)$\{2,3,5,7\}$
(3)$\{x|-1\leqslant x\leqslant 3\}$
[解析]
(1)将全集$U$和集合$A$分别表示在数轴上，如图所示.

由补集的定义可知$\complement_U A=\{x|x＜-3, 或x=5\}$.
(2)$\because A=\{1,3,5,7\}$，$\complement_U A=\{2,4,6\}$，$\therefore U=\{1,2,3,4,5,6,7\}$.
又$\complement_U B=\{1,4,6\}$，
$\therefore B=\{2,3,5,7\}$.
(3)由题意得，阴影部分所表示的集合为$(\complement_U A)\cap B=\{x|-1\leqslant x\leqslant 4\}\cap\{x|-2\leqslant x\leqslant 3\}=\{x|-1\leqslant x\leqslant 3\}$.

1. 已知全集 $ U $，$ M $，$ N $ 是 $ U $ 的非空子集，且 $ (\complement_{U}M) \supseteq N $，则必有( )

A.$ M \subseteq (\complement_{U}N) $
B.$ M \supseteq (\complement_{U}N) $
C.$ (\complement_{U}M) = (\complement_{U}N) $
D.$ M \subseteq N $

答案：
1.A依据题意画出Venn图，
观察可知，$M\subseteq(\complement_U N)$.

2. 已知全集 $ U = \{ x | x \leq 4 \} $，集合 $ A = \{ x | - 2 ＜ x ＜ 3 \} $，$ B = \{ x | - 3 \leq x \leq 2 \} $，求 $ A \cap B $，$ (\complement_{U}A) \cup B $，$ A \cap (\complement_{U}B) $。

答案： 2. 解：因为$U=\{x|x\leqslant4\}$，$A=\{x|-2＜x＜3\}$，$B=\{x|-3\leqslant x\leqslant2\}$，所以$\complement_U A=\{x|x\leqslant-2, 或3\leqslant x\leqslant4\}$，$\complement_U B=\{x|x＜-3, 或2＜x\leqslant4\}$，$(\complement_U A)\cup B=\{x|x\leqslant2, 或3\leqslant x\leqslant4\}$，$A\cap(\complement_U B)=\{x|2＜x＜3\}$.
[变条件]解：由于$A\cap B=\varnothing$，结合数轴（图略），因为$U=\{x|x\leqslant4\}$，$A=\{x|-2＜x＜3\}$，$B=\{x|-3\leqslant x\leqslant2\}$，所以$\complement_U A=\{x|x\leqslant-2, 或3\leqslant x\leqslant4\}$，$\complement_U B=\{x|x＜-3, 或2＜x\leqslant4\}$，$(\complement_U A)\cup B=\{x|x\leqslant2, 或3\leqslant x\leqslant4\}$，$A\cap(\complement_U B)=\{x|2＜x＜3\}$.