《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

利用不等式的性质求代数式的取值范围,一般先用已知变量或代数式来表示 所求代数式,再用不等式性质求解取值范围.

答案： 所求代数式

例3
(1)已知$1＜a＜2＜b＜3$,求$a-2b,\frac{a}{b}$各自的取值范围;
(2)已知$1\leqslant a-b\leqslant2$且$2\leqslant a+b\leqslant4$,求$2a-b$的取值范围.
[分析] (1)利用不等式性质(可乘性、加法、倒数).
(2)用待定系数法找到三者之间的关系.

答案： [例3] [解]
(1)
∵1＜a＜2＜b＜3,
∴-6＜-2b＜-4,1/3＜1/b＜1/2,
∴-5＜a-2b＜-2,1/3＜a/b＜1.
(2)设2a-b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,
∴{m+n=2,
m-n=1,
解得{m=3/2,
n=1/2,
∴2a-b=3/2(a-b)+1/2(a+b).
∵1≤a-b≤2,
∴3/2≤3/2(a-b)≤3.
∵2≤a+b≤4,
∴1≤1/2(a+b)≤2,
∴5/2≤2a-b≤5.

4.已知$-4＜a-b\leqslant-1$且$-1＜2a-b\leqslant5$,求$3a-b$的取值范围.

答案： 跟踪训练 4.解：设3a-b=m(a-b)+n(2a-b),
∴{m+2n=3,
m+n=1,
解得{m=-1,
n=2,
∴3a-b=-(a-b)+2(2a-b).
∵-4＜a-b≤-1,1≤-(a-b)＜4.
∴-1＜2a-b≤5,
∴-2＜2(2a-b)≤10.
∴-1＜3a-b＜14.

1.与$a＞b$等价的不等式是 (D)

A.$|a|＞|b|$
B.$a^2＞b^2$
C.$\frac{a}{b}＞1$
D.$a^3＞b^3$

答案： 1.D 可利用赋值法.令a=1,b=-2，满足a＞b,但|a|＜|b|$,a^2＜b^2，$a/b=-1/2＜1，故A,B,C都不正确.

2.已知$a,b,c\in\mathbf{R}$,则下列命题正确的是 (C)

A.$a＞b\Rightarrow ac^2＞bc^2$
B.$\frac{a}{c}＞\frac{b}{c}\Rightarrow a＞b$
C.$\begin{cases}a＞b,\\ab＜0\end{cases}\Rightarrow\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$
D.$\begin{cases}ab＞0,\\a＞b\end{cases}\Rightarrow\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$

答案： 2.C 当c=0时，A不成立；
当c＜0时，B不成立；
ab＜0,a＞b⇒a/ab＜b/ab，即1/a＜1/b，C成立；
同理可证D不成立.

3.若$8＜x＜10,2＜y＜4$,则$\frac{x}{y}$的取值范围为 2 ＜ x/y ＜ 5.

答案： 3.答案：2＜x/y＜5
解析：
∵2＜y＜4,
∴1/4＜1/y＜1/2.
又
∵8＜x＜10,
∴2＜x/y＜5.

4.用不等号“$＞$”或“$＜$”填空:
(1)如果$a＞b,c＜d$,那么$a-c$ ＞ $b-d$;
(2)如果$a＞b＞0,c＜d＜0$,那么$ac$ ＜ $bd$;
(3)如果$a＞b＞0$,那么$\frac{1}{a^2}$ ＜ $\frac{1}{b^2}$;
(4)如果$a＞b＞c＞0$,那么$\frac{c}{a}$ ＜ $\frac{c}{b}$.

答案： 4.答案：
(1)＞
(2)＜
(3)＜
(4)＜
解析：
(1)
∵a＞b,c＜d，
∴-c＞-d,
∴a-c＞b-d.
(2)
∵a＞b＞0,c＜d＜0，
∴-c＞-d＞0，
∴-ac＞-bd＞0，
∴ac＜bd.
(3)
∵a＞b＞0，
∴0＜1/a＜1/b，
∴$1/a^2＜1/b^2.$
(4)
∵a＞b＞c＞0，
∴0＜1/a＜1/b
∴c/a＜c/b.