《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

2. 写出下列全称量词的否定，并判断其否定的真假.
(1) $ \forall x \in \{ -2, -1, 0, 1, 2 \} $，$ |x - 2| \geqslant 2 $；
(2) 任何一个实数除以 1，仍等于这个数；
(3) 所有分数都是有理数；
(4) 任意两个等边三角形都相似.

答案： 跟踪训练 2.解：
(1)该命题的否定:$\exists x\in\{-2,-1,0,1,2\},|x - 2|\lt2$，是真命题.
(2)该命题的否定:存在一个实数除以1，不等于这个数，是假命题.
(3)该命题的否定:存在一个分数不是有理数，是假命题.
(4)该命题的否定:存在两个等边三角形，它们不相似，是假命题.

存在量词命题：$\exists x\in M,p(x)$.
存在量词命题的否定：$\forall x\in M,\neg p(x)$.
从一般形式来看，存在量词命题“$ \exists x \in M, p(x) $”，它的否定并不是简单地对结论部分 $ p(x) $ 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也就是“$ \exists x \in M, p(x) $”的否定为“$ \forall x \in M, \neg p(x) $”.

答案： $\exists x\in M,p(x)\quad \forall x\in M,\neg p(x)$全称量词

[例 3] 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.
(1) $ p $：$ \exists x ＞ 1 $，$ x^2 - 2x - 3 = 0 $；
(2) $ p $：有些素数是奇数；
(3) $ p $：有些平行四边形不是矩形.

答案： [例3] [解]
(1)$\neg p:\forall x\gt1,x^{2}-2x - 3\neq0$，是假命题.
(2)$\neg p$：所有的素数都不是奇数，是假命题.
(3)$\neg p$：所有的平行四边形都是矩形，是假命题.

3. 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.
(1) $ \exists x \in \mathbf{R} $，$ 8x + 7 \geqslant 0 $；
(2) 有的三角形是直角三角形；
(3) 有一个偶数是自然数.

答案： 跟踪训练 3.解：
(1)该命题的否定:$\forall x\in \mathbf{R}$，$8x + 7\lt0$，是假命题.
(2)该命题的否定:所有的三角形都不是直角三角形，是假命题.
(3)该命题的否定:任意一个偶数都不是自然数，是假命题.