《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 函数$ f(x) $的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为 (B)


A.$ f\left(\frac{3}{2}\right) $，$ f\left(-\frac{3}{2}\right) $
B.$ f(0) $，$ f\left(\frac{3}{2}\right) $
C.$ f\left(-\frac{3}{2}\right) $，$ f(0) $
D.$ f(0) $，$ f(3) $

答案： 1.B 由图象结合定义，f(x)max = f
(0)；f(x)min = f($\frac{3}{2}$).

2. 当$ x \in \mathbf{R} $时，$ f(x) $是$ y = 2 - x^2 $，$ y = x $这两个函数中的较小者，则$ f(x) $的最大值为 (B)

A.2
B.1
C.-1
D.无最大值

答案：
2.B 在同一平面直角坐标系中画出函数y = 2 - x²，y = x的图象，如图.

根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象.所以当x = 1时，f(x)max = 1.

3. 函数$ f(x) = \frac{1}{x} $，$ x \in [1, 2] $，则$ f(x) $的最大值为$ 1$1$ $，最小值为$ \underline{\frac{1}{2}} $。

答案： 3.答案:1 $\frac{1}{2}$
解析:
∵f(x)= $\frac{1}{x}$在区间[1,2]上为减函数，
∴f
(2)≤f(x)≤f
(1)，即$\frac{1}{2}$≤f(x)≤1.

4. 用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为$ 3$3$ $ m。

答案： 4.答案:3
解析:设隔墙长度为x m，场地面积为S m²，
则S = x·$\frac{24 - 4x}{2}$=12x - 2x² = - 2(x - 3)² + 18.
所以当x = 3时，S有最大值.

[例 1] 若$\forall x\in[1,+\infty)$，不等式$x^{2}+ax + 9＞0$恒成立，则实数$a$的取值范围为$(-6,+\infty)$.

答案： [例1][答案] $(-6,+\infty)$
[解析] $\because x\in[1,+\infty)$, $\therefore$由$x^{2}+ax+9$ $＞0$得$a＞-\left(x+\frac{9}{x}\right)$.
法一：易知函数$y=x+\frac{9}{x}$在$[1,3]$上单调递减，在$[3,+\infty)$上单调递增，
$\therefore$函数$y=x+\frac{9}{x}$在$x=3$处取得最小值，且$y_{\min}=6$.
$\therefore\left[-\left(x+\frac{9}{x}\right)\right]_{\max}=-6$,
$\therefore a＞-6$.
故$a$的取值范围为$(-6,+\infty)$.
法二：$\because x\in[1,+\infty)$, $\therefore x+\frac{9}{x}\geqslant$ $2\sqrt{x·\frac{9}{x}}=6$,当且仅当$x=\frac{9}{x}$,即$x=3$时等号成立，
$\therefore-\left(x+\frac{9}{x}\right)$的最大值为$-6$,
$\therefore a＞-6$.故$a$的取值范围为$(-6,+\infty)$.

1. 已知函数$f(x)=\frac{x^{2}+2x+a}{x}$，$x\in[1,+\infty)$.若对任意$x\in[1,+\infty)$，$f(x)＞0$恒成立，则实数$a$的取值范围为$(-3,+\infty)$.

答案： 跟踪训练 1.答案：$(-3,+\infty)$
解析：依题意，$f(x)=\frac{x^{2}+2x+a}{x}＞0$在$[1, +\infty)$上恒成立，
即$x^{2}+2x+a＞0$在区间$[1,+\infty)$上恒成立.
则$a＞-x^{2}-2x$在区间$[1,+\infty)$上恒成立，
令$g(x)=-x^{2}-2x$,$x\in[1,+\infty)$,只需$a$ $＞g(x)_{\max}$,
又$g(x)=-(x+1)^{2}+1$在区间$[1,+\infty)$上为减函数，
$g(x)_{\max}=g(1)=-3$,故$a＞-3$.
即实数$a$的取值范围是$(-3,+\infty)$.