《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

利用作差法证明不等式:作差,变形,差值与零进行比较,得出结论.

答案： 利用作差法证明不等式:作差,变形,差值与

零

进行比较,得出结论.
answer:零

[例4] 已知$ a＞0,b＞0 $,证明$ a^3+b^3\geqslant ab^2+a^2b $.

答案： [例4] [证明] $a^{3} + b^{3} - (ab^{2} + a^{2}b) = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) - ab(a + b) = (a + b)(a^{2} - 2ab + b^{2})$。
$\because a ＞ 0$，$b ＞ 0$，且$a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}\geqslant0$，
$\therefore a + b ＞ 0$，$a^{2} - 2ab + b^{2}\geqslant0$，
$\therefore a^{3} + b^{3} - (ab^{2} + a^{2}b)\geqslant0$，
故$a^{3} + b^{3}\geqslant ab^{2} + a^{2}b$。

4. 已知$ m,n $都是正数且$ m+n=1 $,证明$ (mx+ny)^2\leqslant mx^2+ny^2 $.

答案： 4.证明：因为$(mx + ny)^{2} - (mx^{2} + ny^{2})$
$= m^{2}x^{2} + 2mnxy + n^{2}y^{2} - mx^{2} - ny^{2}$
$= mx^{2}(m - 1) + ny^{2}(n - 1) + 2mnxy$。
又因为$m + n = 1$，则$m - 1 = -n$且$n - 1 = -m$，
所以$(mx + ny)^{2} - (mx^{2} + ny^{2})$
$= -mnx^{2} - mny^{2} + 2mnxy$
$= -mn(x^{2} + y^{2} - 2xy)$
$= -mn(x - y)^{2}$。
又因为$m,n$都是正数，所以$-mn(x - y)^{2}\leqslant0$，
所以$(mx + ny)^{2} - (mx^{2} + ny^{2})\leqslant0$，
则$(mx + ny)^{2}\leqslant mx^{2} + ny^{2}$。

1. 下列说法正确的是(C)

A.某人月收入$ x $不高于2 000元可表示为“$ 0\leqslant x＜2 000 $”
B.小明的身高$ x $ cm,小华的身高$ y $ cm,则小明比小华矮表示为“$ x＞y $”
C.某变量$ x $至少是$ a $可表示为“$ x\geqslant a $”
D.某变量$ y $不超过$ a $可表示为“$ y\geqslant a $”

答案： 1. 下列说法正确的是(

C

)
A. 某人月收入$ x $不高于2 000元可表示为“$ 0\leqslant x＜2 000 $”
B. 小明的身高$ x $ cm,小华的身高$ y $ cm,则小明比小华矮表示为“$ x＞y $”
C. 某变量$ x $至少是$ a $可表示为“$ x\geqslant a $”
D. 某变量$ y $不超过$ a $可表示为“$ y\geqslant a $”
answer:1.C 对于A，$x$应满足$0\leqslant x\leqslant2000$，故A错误；对于B，$x,y$应满足$x ＜ y$，故B错误；C正确；对于D，$y$与$a$的关系可表示为$y\leqslant a$，故D错误。

2. (多选)下列关于不等关系的说法正确的是(ACD)

A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌,是指示司机要安全通过隧道,应使车载货物高度$ h $(米)满足$ 0＜h\leqslant 4.5 $
B.用不等式表示“$ a $与$ b $的差是非负数”为$ a-b＞0 $
C.不等式$ x\geqslant 2 $的含义是指$ x $不小于2
D.$ a $不大于$ b $可以表示为$ a\leqslant b $

答案： 2. (多选)下列关于不等关系的说法正确的是(

ACD

)
A. 某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌,是指示司机要安全通过隧道,应使车载货物高度$ h $(米)满足$ 0＜h\leqslant 4.5 $
B. 用不等式表示“$ a $与$ b $的差是非负数”为$ a-b＞0 $
C. 不等式$ x\geqslant 2 $的含义是指$ x $不小于2
D. $ a $不大于$ b $可以表示为$ a\leqslant b $
answer:2.ACD 因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”，不超过用“$\leqslant$”表示，故选项A正确；
因为“非负数”即为“不是负数”，所以$a - b\geqslant0$，故选项B错误；
因为不等式$x\geqslant2$表示$x ＞ 2$或$x = 2$，即$x$不小于2，故选项C正确；
因为$a$不大于$b$表示$a ＜ b$或$a = b$，所以$a\leqslant b$正确，故选项D正确。

3. 已知$ M=a^2+3a+1,N=2a+\dfrac{1}{2} $,则$ M $$ ＞ $$ N $(填“$ ＞ $”或“$ ＜ $”).

答案： 3. 已知$ M=a^2+3a+1,N=2a+\dfrac{1}{2} $,则$ M $

$ ＞ $

$ N $(填“$ ＞ $”或“$ ＜ $”).
answer:3.答案：$＞$
解析：已知$M = a^{2} + 3a + 1$，$N = 2a + \frac{1}{2}$，
则$M - N = (a^{2} + 3a + 1) - (2a + \frac{1}{2}) = a^{2} + a + \frac{1}{2} = (a + \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4} ＞ 0$，
则$M ＞ N$。

4. 当$ m＞1 $时,$ m^3 $与$ m^2-m+1 $的大小关系为$m^{3} ＞ m^{2} - m + 1$.

答案： 4. 当$ m＞1 $时,$ m^3 $与$ m^2-m+1 $的大小关系为

$m^{3} ＞ m^{2} - m + 1$

.
answer:4.答案：$m^{3} ＞ m^{2} - m + 1$
解析：$\because m^{3} - (m^{2} - m + 1)$
$= m^{3} - m^{2} + m - 1 = m^{2}(m - 1) + (m - 1)$
$= (m - 1)(m^{2} + 1)$。
又$\because m ＞ 1$，故$(m - 1)(m^{2} + 1) ＞ 0$，$\therefore m^{3} ＞ m^{2} - m + 1$。

(源于教材第39页)如图①是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的.将其抽象成如图②的形式.设直角三角形的两条直角边的长为$a,b$ $(a \neq b)$，那么正方形的边长为$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$.

根据抽象的图形，可以得到正方形$ABCD$的面积$a^{2} + b^{2} ＞ 2ab;$
当中间的四边形$EFGH$缩为一点，即四个直角三角形变为等腰直角三角形时，可以得到$a^{2} + b^{2} = 2ab$，于是就有$a^{2} + b^{2} \geqslant 2ab$.
一般地，$\forall a,b \in \mathbf{R}$，有$a^{2} + b^{2} \geqslant 2ab$，当且仅当$a=b$时，等号成立.

答案： $a=b$