《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“$\{ \}$”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为$\{a, b, c, ·s\}$.

答案： 一一列举

[例 1] 用列举法表示下列集合：
(1) 直线$y = 2x + 2024$与$y$轴的交点所组成的集合；
(2) 不大于 8 的正整数构成的集合；
(3)15 的正约数组成的集合.
[分析] 准确理解给定集合中元素的特征，再用列举法表示集合.

答案： [例1][解]
(1)将$x=0$代入$y=2x+2024$，得$y=2024$，即直线与$y$轴的交点是$(0,2024)$，故直线与$y$轴的交点组成的集合是$\{(0,2024)\}$。
(2)不大于8的正整数有1,2,3,4,5,6,7,8，故所求集合为$\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$。
(3)15的正约数有1,3,5,15，故所求集合为$\{1,3,5,15\}$。

1.用列举法表示下列集合：
(1)小于 10 的质数组成的集合 A；
(2)方程$x^{2}+2x+1=0$的解组成的集合 B；
(3)方程$(x - 2)^{2}+(y + 3)^{2}=0$的解组成的集合 C；
(4)直线$y=x+2$与直线$y=-2x+5$的交点组成的集合 D.

答案： 跟踪训练1.解：
(1)因为小于10的质数包括2,3,5,7，所以$A=\{2,3,5,7\}$。
(2)方程$x^{2}+2x+1=0$的两个根为$x_1=x_2=-1$，所以方程$x^{2}+2x+1=0$的解组成的集合$B=\{-1\}$。
(3)由$(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=0$得$x-2=0$，$y+3=0$，解得$x=2$，$y=-3$，所以集合$C=\{(2,-3)\}$。
(4)由$\begin{cases}y=x+2,\\y=-2x+5.\end{cases}$得$\begin{cases}x=1,\\y=3.\end{cases}$
所以直线$y=x+2$与直线$y=-2x+5$的交点为$(1,3)$，所以$D=\{(1,3)\}$。

一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共同特征$P(x)$的元素$x$所组成的集合表示为$\{x\in A\mid P(x)\}$，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成$\{x \in A：P(x)\}$或$\{x \in A; P(x)\}$.

答案： 共同特征$P(x)\{x\in A\mid P(x)\}$

[例 2] 用描述法表示下列集合：
(1) 比 1 大且比 10 小的实数组成的集合；
(2) 不等式$3x + 4 \geq 2x$的所有解组成的集合；
(3) 平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；
(4)正奇数集$M$.
[分析] (2) 将一元一次不等式解出；
(3) 集合中元素为点；
(4) 中将正奇数用数学语言表示.

答案： [例2][解]
(1)可以表示成$\{x\mid1＜x＜10$，且$x\in R\}$。
(2)可以表示成$\{x\mid3x+4\geq2x\}$，即$\{x\mid x\geq-4\}$。
(3)第二象限点$(x,y)$满足$x＜0$，$y＞0$。
所以集合为$\{(x,y)\mid x＜0$，且$y＞0\}$。
(4)设$x\in M$，故全体奇数可用式子$x=2n+1$，$n\in Z$表示，但此题要求为正奇数，故$n\in N$，所以正奇数集$M=\{x\mid x=2n+1$，$n\in N\}$。