《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例 2] 已知函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}+2x,x\leq0,\\-x^{2}+2x,x＞0.\end{cases}$问是否存在这样的正数$a,b$，使得当$x\in[a,b]$时，函数$f(x)$的值域为$[\frac{1}{b},\frac{1}{a}]$？若存在，求出所有$a,b$的值；若不存在，请说明理由.
[分析] 求解时需对$a,b$的取值分情况讨论，从而确定函数在区间$[a,b]$上的单调性，求得最大值和最小值，从而得到关于$a,b$的方程并求其值.

答案： [例2] [解] 存在满足条件的正数a,b.理由如下.
若0＜a＜b\leqslant1,则\frac{1}{a}＞1,而当x＞0时，
$f(x)=-(x-1)^{2}+1\leqslant1,$不成立.
若0＜a＜1＜b,则f(x)在区间[a,b]上的最大
值$f(x)_{\max}=f(1)=1,$所以$\frac{1}{a}=1,$解得a =1,不成立.
若$1\leqslant a＜b,$因为f(x)在$[1,+\infty)$上是减函数，于是有
$\begin{cases}\frac{1}{b}=f(b)=-b^{2}+2b,\frac{1}{a}=f(a)=-a^{2}+2a,\end{cases}$
即$\begin{cases}(a-1)(a^{2}-a-1)=0,\b-1)(b^{2}-b-1)=0,\end{cases}$
因为$1\leqslant a$＜b,所以a=1,b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
故存在正数$a=1,b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$使得当$x\in[a, b]$时，函数f(x)的值域为$[\frac{1}{b},\frac{1}{a}].$

2. 已知$a\in\mathbf{R}$，函数$f(x)=ax^{2}-x$.若存在$t\in[0,1]$，使得$f(t + 2)-f(t)\leq2$成立，则实数$a$的取值范围为 (B)

A.$\left[0,1\right]$
B.$(-\infty,1]$
C.$\left[0,\frac{1}{2}\right]$
D.$(-\infty,\frac{1}{2}]$

答案： 跟踪训练 2.B $f(t+2)-f(t)=[a(t+2)^{2}$ $-(t+2)]-[at^{2}-t]$ $=4at+4a-2$.所以原命题等价于存在$t\in$ $[0,1]$,使得$4at+4a-2\leqslant2$成立，即存在$t\in[0, 1]$,使得$a\leqslant\frac{1}{t+1}$成立，而$\frac{1}{2}\leqslant\frac{1}{t+1}\leqslant1$,因此$a\leqslant1$.

3.(多选)已知函数$f(x)= -2x + 1(x\in[-2,2])$，$g(x)=x^{2}-2x(x\in[0,3])$，则下列结论正确的是(AC)

A.$\forall x\in[-2,2]$，$f(x)＞a$恒成立，则实数$a$的取值范围是$(-\infty,-3)$
B.$\exists x\in[-2,2]$，$f(x)＞a$，则实数$a$的取值范围是$(-\infty,-3)$
C.$\exists x\in[0,3]$，$g(x)=a$，则实数$a$的取值范围是$[-1,3]$
D.$\forall x\in[-2,2]$，$\exists t\in[0,3]$，$f(x)=g(t)$

答案： 3.AC 因为$f(x)=-2x+1(x\in[-2,2])$是减函数，所以当$x=2$时，函数取得最小值，最小值为$-3$，因此$a＜-3$,A正确；因为$f(x)=-2x+1(x\in[-2,2])$是减函数，所以当$x=-2$时，函数取得最大值，最大值为$5$，因此$a＜5$,B错误；$g(x)=x^{2}-2x=(x-$ $1)^{2}-1(x\in[0,3])$,所以当$x=1$时，函数取得最小值，最小值为$-1$，当$x=3$时，函数取得最大值，最大值为$3$，故函数的值域为$[-1,3]$,由$g(x)=a$有解，知$a\in[-1,3]$,C正确；$\forall x\in[-2,2],\exists t\in[0,3],f(x)=$ $g(t)$等价于$f(x)$的值域是$g(t)$的值域的子集，而$f(x)$的值域是$[-3,5]$,$g(t)$的值域是$[-1,3]$,D错误.

1. 一般地，设函数$ f(x) $的定义域为$ D $，如果$ \forall x \in D$$\forall x\in D$$ $，都有$ -x \in D $，且$ f(-x) = f(x)$$f(-x)=f(x)$$ $，那么函数$ f(x) $就叫做$ \underline{ 偶函数} $。

答案： 1.$\forall x\in D\quad f(-x)=f(x)$ 偶函数

2. 偶函数图象是以$ \underline{y 轴}$为对称轴$$的轴对称图形。如果一个函数的图象关于$ y $轴对称，则这个函数是$$偶函数$\underline{ 偶函数} $。

答案： 2.$y$轴为对称轴 偶函数

3. 如果$ f(x) $为偶函数，点$ (x, f(x)) $在其图象上，那么点$ (-x, f(x))$$(-x,f(x))$$ $也在$ f(x) $图象上。

答案： 3.$(-x,f(x))$

[例 1] 下图是函数$ f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1} $在区间$ [0, +\infty) $上的图象，请据此在该直角坐标系中补全函数$ f(x) $在定义域内的图象，并说明你的作图依据。

[分析] 先利用定义判断函数为偶函数，再利用偶函数图象的特点解决问题。

答案：
[解]　因为$f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$，所以$f(x)$的定义域为$\mathrm{R}$.
又对任意$x\in\mathrm{R}$，都有$f(-x)=\frac{1}{(-x)^{2}+1}=\frac{1}{x^{2}+1}=f(x)$，所以$f(x)$为偶函数.
所以$f(x)$的图象关于$y$轴对称，其图象如图所示.