《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 命题
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.

答案： 1.陈述句 真命题 假命题

2. 在“若$ p $，则$ q $”形式的命题中，$ p $称为命题的条件，$ q $称为命题的结论.

答案： 2.条件 结论

[例1] 下列说法中是真命题的是③(填序号).
①已知$ a,b,c,d \in \mathbf{R} $，若$ a \neq c $，$ b \neq d $，则$ a + b \neq c + d $；
②若$ x \in \mathbf{N} $，则$ x^3 ＞ x^2 $成立；
③若$ m ＞ 1 $，则方程$ x^2 - 2x + m = 0 $无实数根；
④存在一个三角形没有外接圆.
[分析] 判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；要判断一个命题是真命题，需要推理论证.

答案： [例1] [答案] ③
[解析] ①假命题. 反例：1≠4，5≠2，而1 + 5 = 4 + 2.
②假命题. 反例：当x = 0时，x³ ＞ x²不成立.
③真命题.
∵ m ＞ 1 ⇒ Δ = 4 - 4m ＜ 0，
∴方程x² - 2x + m = 0无实数根.
④假命题. 因为不共线的三点确定一个圆，
即任何三角形都有外接圆.

1.(多选)下列命题是真命题的是( )

A.若$ xy = 1 $，则$ x,y $互为倒数
B.平面内，四条边相等的四边形是正方形
C.平行四边形是梯形
D.若$ ac^2 ＞ bc^2 $，则$ a ＞ b $

答案： 跟踪训练 1. AD  A，D是真命题，B项，平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，C项，平行四边形不是梯形.

1. 充分条件与必要条件

答案： 从左到右，从上到下依次为：$p \Rightarrow q$；$p \not\Rightarrow q$；充分；必要；充分。

2. 一般来说，对给定的结论$ q $，使得$ q $成立的条件$ p $是不唯一的；给定条件$ p $，由$ p $可以推出的结论$ q $是不唯一的.

答案： 2.不唯一的 不唯一的

[例2] 下列说法中正确的有①②(填序号).
①$ x = 1 $是$ (x - 1)(x - 2) = 0 $的充分条件；
②$ |x| = 1 $是$ x = -1 $的必要条件；
③两个三角形相似是两个三角形全等的充分条件.

答案： [例2] [答案] ①②
[解析] ①正确，因为x = 1 ⇒ (x - 1)(x - 2) = 0；②正确，因为x = -1 ⇒ |x| = 1；③不正确，因为两个三角形相似不能推出两个三角形全等.

2. 下列说法中正确的有①③(填序号).
①$ a \in \mathbf{Q} $是$ a \in \mathbf{R} $的充分条件；
②$ (a - 2)(a - 3) = 0 $是$ a = 3 $的充分条件；
③若$ \triangle ABC $中，$ A ＞ B $是$ BC ＞ AC $的必要条件.

答案： 跟踪训练 2. 答案：①③
解析：①正确，因为a ∈ Q ⇒ a ∈ R；②不正确，由(a - 2)(a - 3) = 0可以推出a = 2或a = 3，不一定有a = 3，(a - 2)·(a - 3) = 0不是a = 3的充分条件；③正确，由三角形中大边对大角可知，若BC ＞ AC，则A ＞ B，因此，BC ＞ AC ⇒ A ＞ B. 因此A ＞ B是BC ＞ AC的必要条件.