《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

求下列函数的值域：
(1)$y = 1 - \frac{2}{x}$；
(2)$y = \frac{2x - 1}{x + 1}$；
(3)$y = x + \sqrt{2x + 1}$；
(4)$y = \frac{2x}{x^{2} + 1}$.

答案：
解：
(1)画出函数y = 1−$\frac{2}{x}$的图象，可得值域为(−∞,1)∪(1,+∞)。(也可以由−$\frac{2}{x}$≠0，y≠1求出值域)

(2)(分离常数法)y=$\frac{2x - 1}{x + 1}$=$\frac{2(x + 1)-3}{x + 1}$=2−$\frac{3}{x + 1}$，x + 1≠0，
∴y≠2，函数值域为(−∞,2)∪(2,+∞)。
(3)(换元法)令$\sqrt{2x + 1}=t$，t≥0，
∴x=$\frac{t²−1}{2}$，
∴y=$\frac{t²−1}{2}$+t=$\frac{1}{2}$t²+t−$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$(t + 1)²−1。
∵t≥0，
∴y≥−$\frac{1}{2}$，
∴函数的值域为[−$\frac{1}{2}$,+∞)。
(4)法一：(基本不等式法)当x = 0时，y = 0；当x＞0时，y=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{x·\frac{1}{x}}}$=1(当且仅当x = 1时，等号成立)；当x＜0时，y=−$\frac{2}{(-x)+\frac{1}{(-x)}}$≥−$\frac{2}{2\sqrt{(-x)·\frac{1}{(-x)}}}$=−1(当且仅当x = −1时，等号成立)，
∴函数值域为[−1,1]。
法二：(函数与方程法)y=$\frac{2x}{x²+1}$的定义域为R，将函数解析式化为yx²−2x + y = 0，看成关于x的方程，则这个方程有实数根，
∴Δ=4 - 4y²≥0，
∴y²≤1，
∴−1≤y≤1，
∴函数值域为[−1,1]。

1. 一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量$x$的不同取值范围，有着不同的 ______ 的函数，如像$y = \begin{cases}-x, & x ＜ 0 \\ x, & x \geq 0\end{cases}$这样的函数称为分段函数.

答案： 对应关系

2. 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.

答案： 并集　空集

[例1] 函数$f(x)$的图象如图所示，则它的解析式为.

[分析] 分段求出函数解析式.

答案： [答案] $f(x)=\begin{cases}2x, & 0\leq x\leq1, \\2, & 1＜ x＜2, \\3, & x\geq2\end{cases}$
[解析] 当$0\leq x\leq1$时，设函数解析式为$y = kx(k\neq0)$，由图象知$k = 2$，所以$y = 2x$；当$1＜ x＜2$时，$y = 2$；当$x\geq2$时，$y = 3$。
$\therefore f(x)=\begin{cases}2x, & 0\leq x\leq1, \\2, & 1＜ x＜2, \\3, & x\geq2\end{cases}$

1. 函数$f(x)$的图象如图所示，求函数$f(x)$的解析式.

答案： 解：当$x＜ -1$时，
设$f(x)=ax + b(a\neq0)$，
则$\begin{cases}-a + b = 1, \\-2a + b = 0, \end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1, \\b = 2, \end{cases}$
所以$f(x)=x + 2$；
当$-1\leq x\leq2$时，设$f(x)=kx^{2}(k＞0)$，由$4 = k·2^{2}$得$k = 1$，所以$f(x)=x^{2}$；
当$x＞2$时，设$f(x)=cx + d(c\neq0)$，
则$\begin{cases}2c + d = 4, \\3c + d = 6, \end{cases}$
解得$\begin{cases}c = 2, \\d = 0, \end{cases}$
所以$f(x)=2x$，
所以$f(x)=\begin{cases}x + 2, & x＜ -1, \\x^{2}, & -1\leq x\leq2, \\2x, & x＞2\end{cases}$