《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

2.将下列指数形式化为对数形式，对数形式化为指数形式：
(1)$2^{-6} = \frac{1}{64}$; (2)$(\frac{1}{2})^{m} = 5.73$; (3)$\log_{\frac{1}{3}}9 = - 2$.

答案： 跟踪训练2.解：
(1)由$2^{-6} = \frac{1}{64}$，可得$\log_2\frac{1}{64} = -6$。
(2)由$(\frac{1}{2})^m = 5.73$，可得$\log_{\frac{1}{2}}5.73 = m$。
(3)由$\log_{\frac{1}{3}}9 = -2$，可得$(\frac{1}{3})^{-2} = 9$。

[例$3$] 求下列各式中$x$的值：
(1)$- \lg x = 2$; (2)$\log_{x}\frac{1}{64} = - 3$;
(3)$x = \log_{\frac{1}{3}}27$; (4)$\ln\frac{1}{e^{2}} = x$.
[分析] 利用对数式与指数式的关系求解.注意：(1)$- \lg x = 2$化为$\lg x = - 2$.

答案： [例3][解]
(1)由$-\lg x = 2$得$\lg x = -2$，所以$x = 10^{-2} = \frac{1}{100}$。
(2)由$\log_x\frac{1}{64} = -3$得$x^{-3} = \frac{1}{64} = 4^{-3}$，所以$x = 4$。
(3)由$x = \log_{\frac{1}{3}}27$得$(\frac{1}{3})^x = 27$，即$3^{-x} = 3^3$，所以$-x = 3$，即$x = -3$。
(4)由$\ln\frac{1}{e^2} = x$得$e^x = \frac{1}{e^2}$，即$e^x = e^{-2}$，所以$x = -2$。

3.求下列各式中$x$的值：
(1)$\log_{x}27 = \frac{3}{2}$; (2)$\log_{2}x = - \frac{2}{3}$;
(3)$x = \log_{9}\frac{1}{9}$; (4)$x = \log_{\frac{1}{2}}16$.

答案： 跟踪训练3.解：
(1)由$\log_x27 = \frac{3}{2}$，得$x^{\frac{3}{2}} = 27$，所以$x^{\frac{1}{2}} = 3$，解得$x = 9$。
(2)由$\log_2x = -\frac{2}{3}$，得$x = 2^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$。
(3)由$x = \log_9\frac{1}{9}$，得$9^x = \frac{1}{9}$，所以$9^x = 9^{-1}$，从而$x = -1$。
(4)由$x = \log_{\frac{1}{2}}16$，得$16 = (\frac{1}{2})^x = 2^{-x}$，所以$2^4 = 2^{-x}$，所以$4 = -x$，则$x = -4$。

4.计算：(1)$\log_{9}27$; (2)$\log\sqrt[3]{81}$.

答案： 4.解：
(1)设$x = \log_927$，则$9^x = 27$，$3^{2x} = 3^3$，所以$2x = 3$，所以$x = \frac{3}{2}$，即$\log_927 = \frac{3}{2}$。
(2)设$y = \log_{\sqrt[3]{3}}81$，则$(\sqrt[3]{3})^y = 81$，$3^{\frac{y}{4}} = 3^4$，所以$\frac{y}{4} = 4$，所以$y = 16$，即$\log_{\sqrt[3]{3}}81 = 16$。