《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 已知$ x＜3 $，求$ \frac{4}{x - 3} + x $的最大值.

答案： 1. 解：
∵$ x＜3 $，
∴$ x - 3＜0 $.
∴$ \frac{4}{x - 3}+x=\frac{4}{x - 3}+x - 3+3 $
$ =-(\frac{4}{3 - x}+3 - x)+3 $
$ \leqslant-2\sqrt{\frac{4}{3 - x}·(3 - x)}+3=-1 $，
当且仅当$ \frac{4}{3 - x}=3 - x $，即$ x=1 $时取等号，
∴$ \frac{4}{x - 3}+x $的最大值为$ -1 $.

2. 当$ 0＜x＜4 $时，求$ x(8 - 2x) $的最大值.

答案： 2. 解：由$ 0＜x＜4 $知，$ 8 - 2x＞0 $，
$ y=x(8 - 2x)=\frac{1}{2}[2x·(8 - 2x)] $
$ \leqslant\frac{1}{2}(\frac{2x + 8 - 2x}{2})^2=8 $，
当且仅当$ 2x=8 - 2x $，即$ x=2 $时，等号成立.
故当$ x=2 $时，$ y=x(8 - 2x) $取得最大值为8.

[例2] 求$ \frac{x^2 + 7x + 10}{x + 1} (x ＞ -1) $的最小值.
[分析] 本题看似无法运用基本不等式，将分子
配方凑出含有$ (x + 1) $的项，再将其分离，就可以

答案： [例2] [解] 法一：$ \frac{x^2 + 7x + 10}{x + 1} $
$ =\frac{(x + 1)^2+5(x + 1)+4}{x + 1}=(x + 1)+\frac{4}{x + 1}+5 $，
∵$ x＞-1 $，
∴$ x + 1＞0 $，
∴$ y\geqslant $
$ 2\sqrt{(x + 1)×\frac{4}{x + 1}}+5=9 $，当且仅当$ x + 1 $
$ =\frac{4}{x + 1} $即$ x=1 $时，等号成立.
∴所求最小
值为9.
法二：先换元，令$ t=x + 1 $，即$ x=t - 1 $，化简
原式再分离求最值.
原式$ =\frac{(t - 1)^2+7(t - 1)+10}{t}=\frac{t^2+5t + 4}{t}=t+\frac{4}{t}+5 $，
当$ x＞-1 $，即$ t=x + 1＞0 $时，$ y\geqslant $
$ 2\sqrt{t×\frac{4}{t}}+5=9 $，
当且仅当$ t=2 $，即$ x=1 $时，等号成立.

3. 若$ -4＜x＜1 $，则$ \frac{x^2 - 2x + 2}{2x - 2} $（$$）

A.最小值2
B.最大值1
C.最小值$-2$
D.最大值$-1$

答案： 3.D
∵$ -4＜x＜1 $，
∴$ 0＜1 - x $
$ ＜5 $，
$ \frac{x^2 - 2x + 2}{2x - 2}=\frac{x^2 - 2x + 1 + 1}{2(x - 1)}=\frac{1}{2}[(1 - $
$ x)+\frac{1}{1 - x}]\leqslant\frac{1}{2}×2\sqrt{(1 - x)· $
$ \frac{1}{1 - x}}=-1 $，当且仅当$ 1 - x=\frac{1}{1 - x} $，即$ x=0 $时等
号成立.
∴函数$ f(x) $有最大值$ -1 $.

[例3] 已知$ x＞0, y＞0, x + y = 1 $，则$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} $的最
小值为4.
[分析] 利用“1”的代换运算，$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = (x + y) ·\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) $.
[变设问] 在本例中，若条件不变，则$ \frac{4}{x + 2} + \frac{1}{y + 1} $
的最小值为$ \frac{9}{4} $.

答案： [例3] [答案] 4
[解析] 因为$ x + y=1 $，
所以$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(x + y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=2+\frac{y}{x} $
$ +\frac{x}{y}\geqslant2 + 2\sqrt{\frac{y}{x}·\frac{x}{y}}=4 $，
当且仅当$ x=\frac{1}{2}=y $时，取等号.
[变设问] 答案:$ \frac{9}{4} $
解析:由$ x + y=1 $，得$ (x + 2)+(y + 1)=4 $，
即$ \frac{1}{4}[(x + 2)+(y + 1)]=1 $，
所以$ \frac{4}{x + 2}+\frac{1}{y + 1}=\frac{1}{4}(\frac{4}{x + 2}+\frac{1}{y + 1}) $.
$ \frac{1}{4}[(x + 2)+(y + 1)]=\frac{1}{4}[4 + 1+ $
$ \frac{4(y + 1)}{x + 2}+\frac{x + 2}{y + 1}]\geqslant\frac{1}{4}(5 + 4)=\frac{9}{4} $，
当且仅当$ x=\frac{2}{3},y=\frac{1}{3} $时，等号成立.