《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. (多选)以下说法正确的是 (CD)

A.对任意的角$\alpha,\beta$，都有$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\beta=1$
B.若$\alpha\in\mathbf{R}$，则$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$恒成立
C.若$\alpha\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，则$\sin\alpha=\cos\alpha\tan\alpha$恒成立
D.$\sqrt{1-\sin^{2}440^{\circ}}=\cos 80^{\circ}$

答案： 跟踪训练1.CD

1. 利用同角三角函数的基本关系，知道一个角$\alpha$的任何一个三角函数值，就可以求出$\alpha$其余两个三角函数值.简称“知一求二”.

答案： 正确

2. 同角三角函数的关系式的常见等价变形
(1)$\sin^{2}\alpha=$$1 - \cos^{2}\alpha$，$\sin\alpha=$$\pm \sqrt{1 - \cos^{2}\alpha}$；
(2)$\cos^{2}\alpha=$$1-\sin^{2}\alpha$，$\cos\alpha=$$\pm \sqrt{1 - \sin^{2}\alpha}$；
(3)$\sin\alpha=$$\cos\alpha·\tan\alpha$，$\cos\alpha=$$\frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}$.
$(\alpha\neq k\pi+\frac{\pi}{2}$，且$\alpha\neq k\pi,k\in\mathbf{Z})$

答案： 2.
(1)$1 - \cos^{2}\alpha \pm \sqrt{1 - \cos^{2}\alpha}$
(2)$1-\sin^{2}\alpha \pm \sqrt{1 - \sin^{2}\alpha}$
(3)$\cos\alpha·\tan\alpha$ $\frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}$

[例2]
(1)已知$\sin\alpha=-\frac{4}{5}$，且$\alpha$为第三象限角，求$\cos\alpha,\tan\alpha$的值；
(2)已知$\cos\alpha=\frac{8}{17}$，求$\sin\alpha,\tan\alpha$的值；
(3)已知$\tan\alpha=\frac{1}{2}$，且$\alpha\in(\pi,\frac{3}{2}\pi)$，求$\sin\alpha$的值.

答案： [例2] [解]
(1)由平方关系可知,$\cos^{2}\alpha=1 - \sin^{2}\alpha=1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$，
$\therefore\cos\alpha=\pm\frac{3}{5}$。
又$\because\alpha$为第三象限角,$\therefore\cos\alpha=-\frac{3}{5}$。
由商数关系可知$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$。
(2)$\because\cos\alpha=\frac{8}{17}$,$\therefore\alpha$是第一或第四象限角.
当$\alpha$是第一象限角时，
$\sin\alpha=\sqrt{1 - \cos^{2}\alpha}=\sqrt{1 - \left(\frac{8}{17}\right)^{2}}=\frac{15}{17}$，
$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}}=\frac{15}{8}$；
当$\alpha$是第四象限角时，
$\sin\alpha=-\sqrt{1 - \cos^{2}\alpha}=-\sqrt{1 - \left(\frac{8}{17}\right)^{2}}=-\frac{15}{17}$，
$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}}=-\frac{15}{8}$。
(3)$\because\alpha\in(\pi,\frac{3}{2}\pi)$,$\therefore\sin\alpha＜0$. 由$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1}{2},\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$，
得$\sin\alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5}$。

2. (1)若$\sin\theta=-\frac{4}{5}$，$\tan\theta＞0$，则$\cos\theta=$$-\frac{3}{5}$；
(2)若$\tan\alpha=-\frac{15}{8}$，则$\sin\alpha=$$\pm\frac{15}{17}$；
(3)已知$\sin\alpha+3\cos\alpha=0$，则$\sin\alpha=$$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\cos\alpha=$$-\frac{\sqrt{10}}{10}$.

答案： 跟踪训练2.答案:
(1)$-\frac{3}{5}$
(2)$\pm\frac{15}{17}$
(3)$\frac{3\sqrt{10}}{10}$ $-\frac{\sqrt{10}}{10}$(或$-\frac{3\sqrt{10}}{10}$ $\frac{\sqrt{10}}{10}$)
解析:
(1)由$\sin\theta=-\frac{4}{5}$,$\tan\theta＞0$得$\theta$是第三象限角，
因而$\cos\theta=-\sqrt{1 - \sin^{2}\theta}=-\sqrt{1 - \frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$。
(2)由$\tan\alpha=-\frac{15}{8}$,得$\alpha$是第二或第四象限角，
由$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{15}{8}$，
$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$，
得$\sin^{2}\alpha=\frac{225}{289}=(\pm\frac{15}{17})^{2}$。
当$\alpha$是第二象限角时,$\sin\alpha=\frac{15}{17}$，
当$\alpha$是第四象限角时,$\sin\alpha=-\frac{15}{17}$。
(3)$\because\sin\alpha + 3\cos\alpha=0$，
$\therefore\sin\alpha=-3\cos\alpha$。
又$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$，
$\therefore(-3\cos\alpha)^{2}+\cos^{2}\alpha=1$，
即$10\cos^{2}\alpha=1$，
$\therefore\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{10}}{10}$。
又由$\sin\alpha=-3\cos\alpha$,可知$\sin\alpha$与$\cos\alpha$异号，
$\therefore$角$\alpha$的终边在第二或第四象限.
当角$\alpha$的终边在第二象限时，
$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}$,$\sin\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10}$；
当角$\alpha$的终边在第四象限时，
$\cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$,$\sin\alpha=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$。