《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

3.(1)已知$\sin( - 110^{\circ}) = a$，则$\tan70^{\circ} =$ (B)

A.$\frac{a}{\sqrt{1 - a^{2}}}$
B.$- \frac{a}{\sqrt{1 - a^{2}}}$
C.$\frac{a}{\sqrt{1 + a^{2}}}$
D.$- \frac{a}{\sqrt{1 + a^{2}}}$

答案： 3.答案：
(1)B
3.解析：
(1)
∵$sin(-110°)=-\sin110°=-\sin70°=a,$
∴$\sin70°=-a＞0,$
∴$\cos70°=\sqrt{1-a^{2}},$
∴$\tan70°=\frac{\sin70°}{\cos70°}=\frac{a}{\sqrt{1-a^{2}}}.$

(2)已知$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = - \frac{1}{3}$，且$\theta \in (0,\frac{\pi}{2})$，则$\cos(\frac{2\pi}{3} + \theta) =$$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

答案： 3.答案：
(2)$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$
3.解析：
(2)\cos(\frac{2\pi}{3}+\theta)=\cos[(\theta-\frac{\pi}{3})+\pi]
=-\cos(\theta-\frac{\pi}{3}),
∵\theta\in(0,\frac{\pi}{2}),
\therefore\theta-\frac{\pi}{3}\in(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}),
∴\cos(\theta-\frac{\pi}{3})＞0,
即\cos(\theta-\frac{\pi}{3})=\sqrt{1-\sin^{2}(\theta-\frac{\pi}{3})}
=\frac{2\sqrt{2}}{3},
∴\cos(\frac{2\pi}{3}+\theta)=-\frac{2\sqrt{2}}{3}.

[例5] 化简：(1)$\frac{\cos(180^{\circ} + \alpha)\sin(\alpha + 360^{\circ})}{\tan( - \alpha - 180^{\circ})\cos( - 180^{\circ} + \alpha)}$；
(2)$\frac{\cos( - \alpha) · \tan(7\pi + \alpha)}{\sin(\pi - \alpha)}$.
[分析] 先利用诱导公式化为同角$\alpha$的三角函数，再用同角三角函数基本关系化简.

答案： [解]
(1)$\tan(-\alpha-180°)$
$=\tan[-(180°+\alpha)]=-\tan(180°+\alpha)=-\tan\alpha$,
$\cos(-180°+\alpha)=\cos[-(180°-\alpha)]=\cos(180°-\alpha)=-\cos\alpha$,
所以原式$=\frac{-\cos\alpha\sin\alpha}{(-\tan\alpha)(-\cos\alpha)}=-\cos\alpha$.
(2)原式$=\frac{\cos\alpha·\tan(\pi+\alpha)}{\sin\alpha}$
$=\frac{\cos\alpha·\tan\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1}=1$.

4. 若$\tan(5\pi + \alpha) = m$，则$\frac{\sin(\alpha - 3\pi) + \cos(\pi - \alpha)}{\sin( - \alpha) - \cos(\pi + \alpha)}$的值为 (A)

A.$\frac{m + 1}{m - 1}$
B.$\frac{m - 1}{m + 1}$
C.$-1$
D.$1$

答案： 4.A 因为$\tan(5\pi+\alpha)=\tan\alpha=m$,
原式$=\frac{\sin(\pi+\alpha)-\cos\alpha}{-\sin\alpha+\cos\alpha}=\frac{-\sin\alpha-\cos\alpha}{-\sin\alpha+\cos\alpha}$
$=\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{m+1}{m-1}$.

5. 求证：
$\frac{\sin(\pi - \alpha)\cos(2\pi - \alpha)\tan( - \alpha + 2\pi)}{\tan( - \alpha + \pi)\sin(3\pi - \alpha)} = \cos\alpha$.

答案： 证明：因为$\frac{\sin(\pi-\alpha)\cos(2\pi-\alpha)\tan(-\alpha+2\pi)}{\tan(-\alpha+\pi)\sin(3\pi-\alpha)}$
$=\frac{\sin\alpha\cos\alpha(-\tan\alpha)}{(-\tan\alpha)\sin\alpha}=\cos\alpha$,
所以等式成立.

1. $\cos480^{\circ} =$ (D)

A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$- \frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$- \frac{1}{2}$

答案： 1.D $\cos480°=\cos(360°+120°)=\cos120°=-\cos60°=-\frac{1}{2}$.

2. $\frac{\cos( - 585^{\circ})}{\sin495^{\circ} + \sin( - 570^{\circ})}$的值等于$\sqrt{2}-2$.

答案： 2.答案：$\sqrt{2}-2$
解析：原式$=\frac{\cos(360°+225°)}{\sin(360°+135°)-\sin(360°+210°)}$
$=\frac{\cos(180°+45°)}{\sin(180°-45°)-\sin(180°+30°)}$
$=\frac{-\cos45°}{\sin45°-(-\sin30°)}=\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{2}-2$.

3. 已知$\tan(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{1}{3}$，则$\tan(\frac{2\pi}{3} + \alpha) =$$-\frac{1}{3}$.

答案： 3.答案：$-\frac{1}{3}$
解析：$\tan(\frac{2\pi}{3}+\alpha)$
$=\tan[\pi-(\frac{\pi}{3}-\alpha)]$
$=-\tan(\frac{\pi}{3}-\alpha)=-\frac{1}{3}$.