《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 元素和集合之间的关系

答案： 1.$\in \notin$

2. 常用数集及其记法

答案： 2.$\mathrm{N}$ $\mathrm{N}^{*}$ $\mathrm{Z}$ $\mathrm{Q}$ $\mathrm{R}$

[例3] (1)下列结论中，不正确的是 (A)
A. 若$a \in \mathbf{N}$，则$-a \notin \mathbf{N}$
B. 若$a \in \mathbf{Z}$，则$a^{2} \in \mathbf{Z}$
C. 若$a \in \mathbf{Q}$，则$|a| \in \mathbf{Q}$
D. 若$a \in \mathbf{R}$，则$a^{3} \in \mathbf{R}$
(2)已知集合$A$满足：若$x \in A$，则$\frac{6}{3 - x} \in \mathbf{N}$且$x \in \mathbf{N}$，则集合$A$中的元素为0,1,2.

答案： [例3] [答案]
(1)A
(2)0,1,2
[解析]
(1)当$a=0$时，$a\in \mathrm{N}$，$-a\in \mathrm{N}$，故A不正确.
(2)由$\frac {6}{3-x}\in \mathrm{N}$,$x\in \mathrm{N}$知$x\geq0$，$\frac {6}{3-x}＞0$，且$x\neq3$，故$0\leq x＜3$.又$x\in \mathrm{N}$，故$x=0,1,2$.当$x=0$时，$\frac {6}{3-0}=2\in \mathrm{N}$;当$x=1$时，$\frac {6}{3-1}=3$
$\in \mathrm{N}$;当$x=2$时，$\frac {6}{3-2}=6\in \mathrm{N}$.故集合A中
的元素为0,1,2.

3. 设集合$B$是小于$\sqrt{11}$的所有实数的集合，则$2\sqrt{3}$$\notin$$B$，$1 + \sqrt{2}$$\in$$B$.(用符号“$\in$”或“$\notin$”填空)

答案： 跟踪训练3.答案:$\notin$ $\in$
解析:$\because 2\sqrt{3}=\sqrt{12}＞\sqrt{11}$，$\therefore 2\sqrt{3}\notin$B.
$\because (1+\sqrt{2})^{2}=3+2\sqrt{2}＜3+2×4=11$，
$\therefore 1+\sqrt{2}＜\sqrt{11}$，$\therefore 1+\sqrt{2}\in$B.

1. 下列对象能组成集合的是 (D)

A.$\sqrt{2}$的所有近似值
B.某个班级中学习好的所有同学
C.去年全国高考数学试卷中所有难题
D.屠呦呦实验室的全体工作人员

答案： 1.D D中的对象都是确定的，而且是不同的.A，B，C中对象不确定，都不能构成集合.

2. 有下列说法：
①集合$\mathbf{N}$中最小的数为1；②若$-a \in \mathbf{R}$，则$a \in \mathbf{R}$；③若$a \in \mathbf{N}$，$b \in \mathbf{N}$，则$a + b$的最小值为2；④所有的小的正数组成一个集合.
其中正确的个数是 (B)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 2.B $\mathrm{N}$中最小的数为0，所以①错误；
易知②正确；
若$a\in \mathrm{N}$,$b\in \mathrm{N}$，则$a+b$的最小值为0，所以
③错误；
“小”的正数没有明确的标准，所以④错误.

3. 由方程$x^{2} - 2x - 3 = 0$和$x^{2} - 1 = 0$的根组成的集合中的元素的个数为3.

答案： 3.答案:3
解析:解方程$x^{2}-2x-3=0$可得$x=-1$
或3，解方程$x^{2}-1=0$可得$x=-1$或1，由于集合中的元素具有互异性，所以由两个方程的根组成集合中的元素的个数为3.

4. 设集合$A$含有两个元素$x$，$y$，$B$含有两个元素$0$，$x^{2}$，若$A = B$，则实数$x =$1，$y =$0.

答案： 4.答案:1 0
解析:由题意得$\begin{cases}x=0,\\y=x^{2}\end{cases}$或$\begin{cases}y=0,\\x=x^{2},\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=0,\\y=0\end{cases}$，或$\begin{cases}x=1,\\y=0,\end{cases}$
又当$x=y=0$时，不满足集合元素的互异
性，所以$\begin{cases}x=1,\\y=0.\end{cases}$