《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

4. 随着我国经济的不断发展，2023 年年底某地区农民人均年收入为 7 000 元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年 6%的年平均增长率增长，那么 2031 年年底该地区的农民人均年收入为(D)

A.$7000×1.06×7$元
B.$7000×1.06^{7}$元
C.$7000×1.06×8$元
D.$7000×1.06^{8}$元

答案： 跟踪训练 4.D 设经过$x$年,该地区的农民人均年收入为$y$元,
根据题意可得$y = 7000×1.06^{x}$,从2023年到2031年共经过了8年,
所以2031年年底该地区的农民人均年收入为$7000×1.06^{8}$元.

5. 某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量$P(mg/L)$与时间$t(h)$之间的关系为$P=P_{0}2^{-kt}$(其中$P_{0}$表示初始废气中的污染物数量). 经过 5 h 后，经测试，消除了 20%的污染物. 问：
(1)15 h 后还剩百分之几的污染物？
(2)污染物减少 36%需要花多长时间？

答案： 5.解:
(1)由题意得,$P = P_{0}2^{-5k} = (1 - 20\%)P_{0}$,则$2^{-5k}=0.8$,
故当$t = 15$时,$P = P_{0}2^{-15k}=P_{0}(2^{-5k})^{3}=(80\%)^{3}P_{0}=51.2\%P_{0}$.
故15个小时后还剩$51.2\%$的污染物.
(2)由题意,$P_{0}2^{-kt}=(1 - 36\%)P_{0}$,
即$(2^{-5k})^{\frac{t}{5}} = 0.64$,所以$0.8^{\frac{t}{5}} = 0.64$,所以$\frac{t}{5}=2$,且$t = 10$,故污染物减少$36\%$需要花10 h.

1. 下列函数是指数函数的是(C)

A.$y=2^{x+1}$
B.$y=4^{x}-1$
C.$y=(\frac{1}{5})^{x}$
D.$y=3×(\frac{1}{2})^{x}$

答案： 课堂达标·素养提升中对应内容：1.C

2. 若函数$y=(a-1)^{x}$(x 是自变量)是指数函数，则 a 的取值范围是(C)

A.$a＞0$且$a≠1$
B.$a≥0$且$a≠1$
C.$a＞1$且$a≠2$
D.$a≥1$

答案： 2.C 由题意得$\begin{cases}a - 1＞0,\\a - 1\neq1.\end{cases}$解得$a＞1$且$a\neq2$.

3. 若函数$f(x)$是指数函数，且$f(2)=2$，则$f(x)=$$(\sqrt{2})^{x}$.

答案： 3.答案:$(\sqrt{2})^{x}$
解析:由题意,设$f(x)=a^{x}(a＞0$,且$a\neq1)$,
则由$f(2)=a^{2}=2$,得$a=\sqrt{2}$,
所以$f(x)=(\sqrt{2})^{x}$.

4. 某企业为了调动员工的劳动积极性，决定基础工资部分每年按 6%的速度增加. 设第一年的基础工资为 a，则第 n 年的基础工资 y 与 n 的关系式为$y=a(1 + 6\%)^{n - 1},n\in N^{*}$.

答案： 4.$y=a(1 + 6\%)^{n - 1},n\in N^{*}$