《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

2. 如图为奇函数$ y = f(x) $的局部图象，则$ f(-2) + f(-1) $的值为 (A)


A.$ -2 $
B.$ 2 $
C.$ 1 $
D.$ 0 $

答案： 答案：A $f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=-2$.

1. 利用定义判断函数奇偶性的方法
一看定义域：奇函数、偶函数的定义域要关于$ \underline{ 原点}$$$对称，定义域不关于原点对称时，函数是非奇非偶函数。
二看等式：$ f(x) $的定义域关于原点对称时，再看$ f(-x) $与$ f(x) $的关系。
(1) $ f(-x) = f(x)$$\Leftrightarrow f(x) $是$ \underline{ 偶函数} $。
(2) $ f(-x) = -f(x)$$\Leftrightarrow f(x) $是$ \underline{ 奇函数} $。
(3) 存在$ x_0 $，$ f(-x_0) \neq \pm f(x_0)$$\Leftrightarrow f(x) $是$ \underline{ 非奇非偶函数} $。
(4) $ f(-x) = \pm f(x) \Leftrightarrow f(x) $既是奇函数又是偶函数。(这样的函数有且只有一类，即$ f(x) = 0 $，$ x \in D $，$ D $是关于原点对称的非空数集)

答案： 原点
(1)偶函数
(2)奇函数
(3)非奇非偶函数

2. 性质法
在公共定义域(关于原点对称)两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。

答案： 正确

[例 3] 判断下列函数的奇偶性，并说明理由：
(1) $ f(x) = x - \dfrac{1}{x^3} $；
(2) $ f(x) = |x + 2| + |x - 2| $；
(3) $ f(x) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{|x + 2| - 2} $；
(4) $ f(x) = \begin{cases} x^2 + x, & x ＜ 0, \\ x^2 - x, & x ＞ 0. \end{cases} $

答案：
[解]　
(1)法一(定义法)：$f(x)=x-\frac{1}{x^{3}}$的定义域是$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$.
当$x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$时，显然，$-x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$.
因为$f(-x)=(-x)-\frac{1}{(-x)^{3}}=-x+\frac{1}{x^{3}}=-(x-\frac{1}{x^{3}})=-f(x)$，所以$f(x)=x-\frac{1}{x^{3}}$是奇函数.
法二(性质法)：$f(x)=x-\frac{1}{x^{3}}$，令$g(x)=x$，$t(x)=-\frac{1}{x^{3}}$，在函数$f(x)$的定义域$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$内，$g(x)$是奇函数，$t(x)$是奇函数，因此$g(x)-t(x)$是奇函数，即$f(x)$是奇函数.
(2)法一(定义法)：$f(x)=\mid x+2\mid+\mid x-2\mid$的定义域为$\mathrm{R}$，$f(-x)=\mid -x+2\mid+\mid -x-2\mid=\mid x-2\mid+\mid x+2\mid=f(x)$，所以函数$f(x)$为偶函数.
法二(图象法)：$f(x)=\mid x+2\mid+\mid x-2\mid$的定义域为$\mathrm{R}$.
$f(x)=\mid x+2\mid+\mid x-2\mid=\begin{cases}2x,x＞2,\\4,-2\leqslant x\leqslant2,\\-2x,x＜-2.\end{cases}$
图象如图所示.

因为图象关于$y$轴对称，所以函数$f(x)$是偶函数.
(3)由函数$f(x)=\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\mid x+2\mid-2}$，可得$\begin{cases}1-x^{2}\geqslant0,\\\mid x+2\mid\neq2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}-1\leqslant x\leqslant1,\\x\neq0且x\neq-4.\end{cases}$
故函数$f(x)$的定义域为$[-1,0)\cup(0,1]$.
显然函数$f(x)$的定义域关于原点对称，且$f(x)=\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}$，又$f(-x)=\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{-x}=-\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}=-f(x)$，所以$f(x)$为奇函数.
(4)当$x＜0$时，$-x＞0$，则$f(-x)=(-x)^{2}-(-x)=x^{2}+x=f(x)$；
当$x＞0$时，$-x＜0$，则$f(-x)=(-x)^{2}+(-x)=x^{2}-x=f(x)$.
综上所述，对任意的$x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，都有$f(-x)=f(x)$，故$f(x)$为偶函数.