《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

2.(1)(多选)下列用描述法表示的集合，正确的是 (ACD)
A. 奇数集可以表示为$\{x \in \mathbb{Z} \mid x = 2k + 1, k \in \mathbb{Z}\}$
B. “小于 10 的整数”构成的集合可以表示为$\{x \mid x ＜ 10\}$
C. $\{x \mid x ＞ 2\}$表示大于 2 的全体实数
D. 不等式$x^{2}-1 ＞ 0$的解集表示为$\{x \mid x^{2}-1 ＞ 0\}$
(2) 图中阴影部分(含边界)的点组成的集合 B 用描述法表示为$B =$$\{(x,y)\mid -1\leq x\leq3$，且$0\leq y\leq3\}$.

答案： 跟踪训练2.答案：
(1)ACD
(2)$\{(x,y)\mid -1\leq x\leq3$，且$0\leq y\leq3\}$
解析：
(1)$B$中，$\{x\mid x＜10\}$表示“小于10的实数”，“小于10的整数”构成的集合表示为$\{x\mid x＜10$，且$x\in Z\}$。其余的全正确。
(2)设集合$B$中的代表元素是$(x,y)$。
由题意，$-1\leq x\leq3$，且$0\leq y\leq3$，
因此所求集合$B=\{(x,y)\mid -1\leq x\leq3$，且$0\leq y\leq3\}$。

集合的常用表示方法有列举法、描述法.

答案： 列举法描述法

[例 3] 用适当的方法表示下列集合：
(1) 大于 2 且小于 5 的有理数组成的集合；
(2)24 的正因数组成的集合；
(3) 自然数的平方组成的集合；
(4) 由直线$y = -x + 4$上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合；
(5) 由 0,1,2 这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合.

答案： [例3][解]
(1)用描述法表示为$\{x\mid2＜x＜5$，且$x\in Q\}$。
(2)用列举法表示为$\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$。
(3)用描述法表示为$\{x\mid x=n^{2}$，$n\in N\}$。
(4)用描述法表示该集合为$\{(x,y)\mid y=-x +4$，$x\in N$，$y\in N\}$，或用列举法表示该集合为$\{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)\}$。
(5)用列举法表示为$\{0,1,2,10,12,20,21,102,120,210,201\}$。

3.用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组$\begin{cases}2x - 3y = 14, \\3x + 2y = 8 \end{cases}$的解集；
(2)方程$x^{2}-2x + 1 = 0$的实数根组成的集合；
(3)二次函数$y = x^{2}+2x - 10$的图象上所有点的纵坐标组成的集合；
(4)二次函数$y = x^{2}+2x - 10$的图象上所有的点组成的集合.

答案： 跟踪训练3.解：
(1)解方程组$\begin{cases}2x-3y=14,\\3x+2y=8.\end{cases}$得$\begin{cases}x=4,\\y=-2.\end{cases}$
故方程组的解集可用列举法表示为$\{(4,-2)\}$。
(2)方程$x^{2}-2x+1=0$的实数根为$x_1=x_2=1$，因此可用列举法表示为$\{1\}$，也可用描述法表示为$\{x\in R\mid x^{2}-2x+1=0\}$。
(3)二次函数$y=x^{2}+2x-10$的图象上所有的点的纵坐标组成的集合中，代表元素为$y$，故可用描述法表示为$\{y\mid y=x^{2}+2x-10\}$。
(4)二次函数$y=x^{2}+2x-10$的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为$(x,y)$，故可用描述法表示为$\{(x,y)\mid y=x^{2}+2x-10\}$。