《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 已知函数f(x) = 3^x,g(x) = x,当$x \in R$时,f(x)与g(x)的大小关系为$f(x)＞g(x)$.

答案：
1.答案:$f(x)＞g(x)$
解析:在同一直角坐标系中画出函数$f(x)=3^{x},g(x)=x$的图象，如图所示，

由于函数$f(x)=3^{x}$的图象在函数$g(x)=x$图象的上方，则$f(x)＞g(x)$.

2. 函数$f(x) = 2^x$和$g(x) = 2x$的图象如图所示,设两函数的图象交于点$A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,且$x_1 ＜ x_2$.

(1)请指出图中曲线$C_1$,$C_2$分别对应的函数;
(2)结合函数图象,判断$f\left(\dfrac{3}{2}\right)$与$g\left(\dfrac{3}{2}\right)$,$f(2023)$与$g(2023)$的大小.

答案： 2.解:
(1)$C_1$对应的函数为$g(x)=2x,C_2$对应的函数为$f(x)=2^{x}$.
(2)$\because f(1)=g(1),f(2)=g(2)$，
从图象上可以看出，当$1＜x＜2$时，$f(x)＜g(x)$，
$\therefore f(\frac{3}{2})＜g(\frac{3}{2})$；
当$x＞2$时，$f(x)＞g(x)$，$\therefore f(2023)＞g(2023)$.

答案： 在$(0,+\infty)$上的增减性：单调递增；单调递增
图象的变化趋势：一条直线；随$x$增大逐渐近似与$y$轴平行
增长速度：$y=\log_{a}x(a\gt1)$随着$x$的增大，$y$增长速度逐渐变慢，不论$a$的值比$k$的值大多少，在一定范围内，$\log_{a}x$可能会大于$kx$，但由于$\log_{a}x$的增长最终会慢于$kx$的增长，因此总会存在一个$x_{0}$，当$x\gt x_{0}$时，恒有$\log_{a}x\lt kx$

[例2] 已知函数$f(x) = \lg x$,$g(x) = 0.3x - 1$的图象如图所示.

(1)指出图中曲线$C_1$,$C_2$分别对应哪一个函数;
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对$f(x)$,$g(x)$的大小进行比较).
[分析] 借助常见函数模型的图象特点.

答案： [例2] [解]
(1)$C_1$对应的函数为$g(x)=0.3x - 1$，
$C_2$对应的函数为$f(x)=\lgx$.
(2)当$x\in(0,x_1)$时，$g(x)＞f(x)$；
当$x\in(x_1,x_2)$时，$g(x)＜f(x)$；
当$x\in(x_2,+\infty)$时，$g(x)＞f(x)$.

3. 函数$y = x$与函数$y = \ln x$在区间$(0, +\infty)$上增长较快的是$y = x$.

答案： 3.答案:$y = x$
解析:作出$y = x$与$y=\lnx$的图象(图略)，
通过比较图象可得增长较快的是函数$y = x$.