《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例] 利用重要不等式证明如下不等式：
已知$a＞0,b＞0,$求证：$a + b \geqslant 2\sqrt{ab}$，当且仅当$a = b$时，等号成立.
[分析] $a＞0,b＞0,a = (\sqrt{a})^{2},b = (\sqrt{b})^{2}$.

答案： [例] [证明] $\because a＞0,b＞0,$
$\therefore a+b=(\sqrt{a})^{2}+(\sqrt{b})^{2}\geq2\sqrt{a}·\sqrt{b}=2\sqrt{ab}$,
当且仅当$\sqrt{a}=\sqrt{b}$,即$a=b$时等号成立.

已知$a＞0,$求证：$a + \frac{1}{a} \geqslant 2$.

答案： 跟踪训练 证明:法一:利用$a^{2}+b^{2}\geq2ab$.
$\because a＞0,\therefore a+\frac{1}{a}=(\sqrt{a})^{2}+(\frac{1}{\sqrt{a}})^{2}\geq2\sqrt{a}·\frac{1}{\sqrt{a}}=2$.
当且仅当$a=1$时,等号成立.
法二:$\because a+\frac{1}{a}-2=(\sqrt{a})^{2}+(\frac{1}{\sqrt{a}})^{2}-2=$
$(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}})^{2}\geq0,\therefore a+\frac{1}{a}\geq2$.

答案： b＜a⇒a＞b c+a＞b+c ac＞bc ac＜bc
a+c＞b+d ac＞bd a^n＞b^n