《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

3. 设 $ a ＞ 0 $，$ f(x) = \frac{e^{x}}{a} + \frac{a}{e^{x}} $ 是 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数，求 $ a $ 的值.

答案： 跟踪训练 3.解：依题意，对一切$x\in\mathbf{R}$，都有$f(-x)=f(x)$，
所以$\frac{e^{x}+a}{e^{x}}=\frac{1}{ae^{x}}+ae^{x}$，
所以$(a-\frac{1}{a})(e^{x}-\frac{1}{e^{x}})=0$，
所以$a-\frac{1}{a}=0$，即$a^{2}=1$。又$a＞0$，所以$a=1$。

1. 函数 $ y = -(\frac{1}{2})^{x} $ 的图象为(D)

答案： 1.D 将函数$y=(\frac{1}{2})^{x}$的图象关于$x$轴对称，即可得到。

2. (多选)若 $ a ＞ 1 $，$ -1 ＜ b ＜ 0 $，则函数 $ y = a^{x} + b $ 的图象一定过(ABC)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案：
2.ABC $\because a＞1$，且$-1＜b＜0$，
$\therefore$函数的图象如图所示。

故图象过第一、二、三象限。

3. 函数 $ f(x) = 0.8^{x^{2} - 2} $ 的单调递增区间为$(-\infty,0]$.

答案： 3.答案：$(-\infty,0]$
解析：设$u(x)=x^{2}-2$，则$u(x)$在区间$(-\infty,0]$上单调递减，在区间$(0,+\infty)$上单调递增。
因为$y = 0.8^{u}$为减函数，
所以函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,0]$。

4. 若 $ f(x) = \frac{a2^{x} + 2a - 1}{2^{x} + 1} $ 为 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数，则实数 $ a $ 的值为$\frac{1}{3}$.

答案： 4.答案：$\frac{1}{3}$
解析：因为$f(x)=\frac{a2^{x}+2a - 1}{2^{x}+1}$为$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(0)=0$，即$\frac{a2^{0}+2a - 1}{2^{0}+1}=0$，
所以$a=\frac{1}{3}$。