《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1.函数$f(x)=x^{3}-4x$的零点为 (C)

A.$(0,0),(2,0)$
B.$(-2,0),(0,0),(2,0)$
C.$-2,0,2$
D.$0,2$

答案： 1.C 令$f(x)=0$，得$x(x - 2)(x + 2)=0$，解得$x = 0$或$x = \pm 2$。

2.(多选)若函数$f(x)$的图象在$\mathbf{R}$上连续不断，且满足$f(0)＜0,f(1)＞0,f(2)＞0$，则下列说法错误的是 (ABD)

A.$f(x)$在区间$(0,1)$上一定有零点，在区间$(1,2)$上一定没有零点
B.$f(x)$在区间$(0,1)$上一定没有零点，在区间$(1,2)$上一定有零点
C.$f(x)$在区间$(0,1)$上一定有零点，在区间$(1,2)$上可能有零点
D.$f(x)$在区间$(0,1)$上可能有零点，在区间$(1,2)$上一定有零点

答案： 2.ABD 由题知$f(0) · f(1) ＜ 0$，所以根据函数零点存在定理可得，$f(x)$在区间$(0,1)$上一定有零点，
又$f(1) · f(2)＞0$，因此无法判断$f(x)$在区间$(1,2)$上是否有零点。

3.若函数$y = x^{2}+a$存在零点，则$a$的取值范围是$(-\infty,0]$.

答案： 3.答案：$(-\infty,0]$
解析：由$y = x^{2}+a = 0$，得$x^{2}=-a$有解，所以$a \leq 0$。

4.设函数$f(x)=2^{1 - x}-4,g(x)=1-\log_{2}(x + 3)$，则函数$f(x)$的零点与$g(x)$的零点之和为$-2$.

答案： 4.答案：$-2$
解析：令$f(x)=2^{1 - x}-4 = 0$，解得$x = -1$，
令$g(x)=1 - \log_{2}(x + 3)=0$，解得$x = -1$，
所以函数$f(x)$的零点与$g(x)$的零点之和为$-2$。

对于在区间$[a, b]$上图象连续不断且$f(a)f(b)＜0$的函数$y = f(x)$，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

答案： 连续不断 $f(a)f(b)＜0$ 区间一分为二

[例1] (1)(多选)下列函数图象与$x$轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是 (ABC)

(2)在用二分法求函数$f(x)$的零点近似值时，第一次取的区间是$[-2, 4]$，则第三次所取的区间可能是　　　　　　　　　　　　　　(D)
A. $[1,4]$　　　　B. $[-2,1]$
C. $[-2,2.5]$　　D. $[-0.5,1]$
[分析] 根据二分法的概念判断.

答案： [例1] [答案]
(1)ABC
(2)D
[解析]
(1)根据二分法的基本方法，函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的图象连续不断，且$f(a)f(b)＜0$，即函数的零点是变号零点，才能将区间$[a,b]$一分为二，逐步得到零点的近似值.对各图象分析可知，选项A,B,C都符合条件，而选项D不符合，由于零点左右两侧的函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值.
(2)因为第一次所取的区间是$[-2,4]$，所以第二次的区间可能是$[-2,1],[1,4]$；第三次所取的区间可能为$[-2,-0.5],[-0.5,1],[1,2.5],[2.5,4]$，只有选项D符合.

1. (多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有　　　　　　　　　　(ACD)

A.$f(x)=3x - 1$
B.$f(x)=x^2 - 2x + 1$
C.$f(x)=\log_4 x$
D.$f(x)=e^x - 2$

答案： 跟踪训练 1.ACD $f(x)=(x-1)^2$，且$f(1)=0$，当$x＜1$时，$f(x)＞0$，当$x＞1$时，$f(x)＞0$，$f(x)$在零点两侧的函数值同号，不能用二分法求函数零点，B错误；在函数零点两侧的函数值异号，能用二分法求函数零点，故A,C,D正确.