《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

正弦函数$f(x)=\sin x$和余弦函数$f(x)=\cos x$都是周期函数$(k\in\mathbf{Z}$且$k\neq0)$.

答案： 2πk(k∈Z且k≠0)；2π；2πk(k∈Z且k≠0)；2π

[例2]
分别求下列三角函数的最小正周期：(1)$y=\frac{1}{2}\sin x$；(2)$y=\cos 4x$；
(1)$y=\frac{1}{2}\sin x$；
(2)$y=\cos 4x$；
(3)$y=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})$.
[分析]
采用整体思想，利用换元法，从正弦函数、余弦函数的周期入手，再通过代数变形，利用周期函数的定义求得.

答案： [解]
(1) $\forall x\in \mathbf{R}$,有$\frac{1}{2}\sin(x + 2\pi)=\frac{1}{2}\sin x$,由周期函数的定义可知，原函数的一个周期为$2\pi$，且为最小正周期.
(2)令$z = 4x,\forall x\in \mathbf{R}$,得$z\in \mathbf{R}$,且$y = \cos z$的周期为$2\pi$，即$\cos(z + 2\pi)=\cos z$，于是$\cos(4x + 2\pi)=\cos 4x$，所以$\cos 4(x + \frac{\pi}{2})=\cos 4x,x\in \mathbf{R}$.由周期函数的定义可知，原函数的一个周期为$\frac{\pi}{2}$，且为最小正周期.
(3)令$z = 2x+\frac{\pi}{3}$,由$2\sin(z + 2\pi)=2\sin z$,于是$2\sin(2x+\frac{\pi}{3}+2\pi)=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})$，即$2\sin[2(x + \pi)+\frac{\pi}{3}]=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})$，令$y = f(x)$,则$f(x + \pi)=f(x)$,由周期函数的定义可知，原函数的一个周期为$\pi$，且为最小正周期.

2. 分别求下列三角函数的最小正周期：
(1)$f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{3})$；
(2)$y=\sin(\frac{1}{3}x-\frac{\pi}{4})$.

答案： 解：
(1)因为$f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{3})=\cos(2x+\frac{\pi}{3}+2\pi)=\cos[2(x+\pi)+\frac{\pi}{3}]=f(x+\pi)$,即$f(x+\pi)=f(x)$,所以函数$f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{3})$的最小正周期$T = \pi$.
(2)因为$\sin[\frac{1}{3}(x + 6\pi)-\frac{\pi}{4}]=\sin(\frac{1}{3}x +2\pi-\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{1}{3}x-\frac{\pi}{4})$,由周期函数的定义知,$y=\sin(\frac{1}{3}x-\frac{\pi}{4})$的最小正周期为$6\pi$.

答案： 奇函数；原点；偶函数；y轴

[例3]
判断下列函数的奇偶性：
(1)$f(x)=\cos(\frac{3}{2}\pi + 2x)+x^2\sin x$；
(2)$f(x)=\cos(2\pi - x)-x^3·\sin x$；
(3)$f(x)=\sqrt{1 - 2\cos x}+\sqrt{2\cos x - 1}$；
(4)$f(x)=\frac{\sin x(1 - \sin x)}{1 - \sin x}$.
[分析]
根据诱导公式和奇、偶函数的定义判断即可.

答案： [解]
(1)函数的定义域为$\mathbf{R}$,关于原点对称，$f(x)=\sin 2x+x^{2}\sin x$,又$\because x\in \mathbf{R},f(-x)=\sin(-2x)+(-x)^{2}\sin(-x)=-\sin 2x - x^{2}\sin x=-f(x),\therefore f(x)$是奇函数.
(2)函数的定义域为$\mathbf{R}$,关于原点对称.$\because f(x)=\cos x - x^{3}· \sin x$,$\therefore f(-x)=\cos(-x)-(-x)^{3}· \sin(-x)=\cos x - x^{3}· \sin x = f(x)$,$\therefore f(x)$为偶函数.
(3)由$\begin{cases}1 - 2\cos x\geq0\\2\cos x - 1\geq0\end{cases}$得$\cos x=\frac{1}{2}$,此时$f(x)=0$,$f(x)$的定义域为$\{x\mid x = 2k\pi\pm\frac{\pi}{3},k\in \mathbf{Z}\}$,关于原点对称.当$\cos x=\frac{1}{2}$时,$f(-x)=0$,$f(x)=\pm f(-x)$.$\therefore f(x)$既是奇函数又是偶函数.
(4)由题意知$\sin x\neq1,\therefore x\in \mathbf{R}$且$x\neq2k\pi+\frac{\pi}{2}$,即$f(x)$的定义域为$\{x\mid x\neq2k\pi+\frac{\pi}{2},k\in \mathbf{Z}\}$,不关于原点对称.$\therefore f(x)$是非奇非偶函数.