《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).

答案： 1.元素 集合

2. 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.
我们通常用大写拉丁字母$A$，$B$，$C$，⋯表示集合，用小写拉丁字母$a$，$b$，$c$，⋯表示集合中的元素.

答案： 2.确定性 互异性

[例1] (多选)下列所给对象的全体能构成集合的是 ( )
A.中国古代四大发明
B.漂亮的花
C.方程$x^{2} + 2x + 1 = 0$的实数根
D.地球上的小河道

答案： [例1] [答案] AC
[解析] B,D中对象不确定.A,C能构成集合，二者有确定的判断标准.

1. (多选)下列所给对象能构成集合的是 (AD)

A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点
B.高中数学必修第一册课本上的所有难题
C.著名的艺术大师
D.某校高一年级的16岁以下的学生

答案： 跟踪训练1. A D A,D能构成集合，二者有确定的判断标准.A中元素是“到原点的距离等于1的点”，D中元素是“某校高一年级的16岁以下的学生”.B,C项的对象不能构成集合，因为“难题”与“著名”标准不明确.

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.

答案： 相等

[例2] 设$x$是实数，集合$A$中只含有$-1$，$|x|$两个元素，集合$B$中含有$x$，$x^{2}$两个元素，且集合$A$与集合$B$相等，则$x =$-1.
[分析] 由题意，$x = -1$且$x^{2} = |x|$，从而得解.

答案： [例2] [答案] -1
[解析] 由两集合相等，可得，集合B中一定含有一1这个元素，因为$x^{2}\geq0$，所以$x=-1$，符合条件.

2. 设$a$，$b$是两个实数，集合$A$中含有$0$，$b$，$\frac{b}{a}$三个元素，集合$B$中含有$1$，$a$，$a + b$三个元素，且集合$A$与集合$B$相等，则$a + 2b =$1.

答案： 跟踪训练2.答案:1
解析:由A和B相等的意义及$a\neq0$，
得$a+b=0$，则$\frac {b}{a}=-1$，
因此$b=1$，所以$a=-1$，
故$a+2b=1$.