《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例 1] 如图，利用几何作图法作出正弦函数图象时，当$x_0$取$\frac{3\pi}{4}$时，$T$点坐标为$\left( \frac{3\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.

[分析] 根据正弦函数的定义以及$\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$得出结论.

答案： [例1] [答案] $\left( \frac{3\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$
[解析] 根据正弦函数的定义，点 $T$ 的纵坐标 $y_0 = \sin x_0 = \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore T\left( \frac{3\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.

1. (1)在同一平面直角坐标系内，函数$y = \sin x$，$x \in [0,2\pi]$与$y = \sin x$，$x \in [2\pi,4\pi]$的图象(B)
A. 重合
B. 形状相同，位置不同
C. 关于$y$轴对称
D. 形状不同，位置不同
(2)点$M(\frac{5\pi}{3},m)$在函数$y = \sin x$的图象上，则$m$等于$-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： 跟踪训练 1. 答案：
(1)B
(2)$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析：
(1)根据正弦函数图象的作图过程(或诱导公式一)，可知函数 $y = \sin x, x \in [0, 2\pi]$ 与 $y = \sin x, x \in [2\pi, 4\pi]$ 的图象位置不同，但形状相同.
(2)$m = \sin \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

用“五点(画图)法”作正弦曲线的一般步骤
(1)先描出$(0,0)$，$\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right)$，$(\pi, 0)$，$\left( \frac{3\pi}{2}, -1 \right)$，$(2\pi,0)$这五个点；
(2)把这五个点用一条光滑的曲线连接起来，就得到$y = \sin x$在$[0,2\pi]$上的简图；
(3)通过左、右平移(每次平移$2\pi$个单位长度)，即得到正弦函数$y = \sin x(x \in \mathbf{R})$的图象.

答案：
(1)$\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right)$ $(\pi, 0)$ $\left( \frac{3\pi}{2}, -1 \right)$
(2)光滑的曲线
(3)$2\pi$

[例 2] 画出函数$y = \sin x - 1$，$x \in [0,2\pi]$的简图.
[分析] 列表(求点)、描点、连线.

答案：
[例2] [解] 法一：取五个关键点列表：
|$x$|0|$\frac{\pi}{2}$|$\pi$|$\frac{3\pi}{2}$|$2\pi$|
|---|---|---|---|---|---|
|$\sin x$|0|1|0|-1|0|
|$\sin x - 1$|-1|0|-1|-2|-1|
描点，并用光滑的曲线连接，如图.

法二：可先用“五点(画图)法”画 $y = \sin x, x \in [0, 2\pi]$ 的图象(如图中的虚线图)，再将其向下平移 $1$ 个单位长度，可得函数 $y = \sin x - 1, x \in [0, 2\pi]$ 的图象.