《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 若全集 $ U = \{ - 1,0,1,2 \} $，$ P = \{ x \in \mathbf{Z} | - \sqrt{2} ＜ x ＜ \sqrt{2} \} $，则 $ \complement_{U}P = $(A)

A.$ \{ 2 \} $
B.$ \{ 0,2 \} $
C.$ \{ - 1,2 \} $
D.$ \{ - 1,0,2 \} $

答案： 1. A 因为全集$U=\{-1,0,1,2\}$，$P=\{x\in\mathbb{Z}|-\sqrt2＜x＜\sqrt2\}=\{-1,0,1\}$，所以$\complement_U P=\{2\}$.

2. 图中阴影部分表示的集合是(A)


A.$ A \cap (\complement_{U}B) $
B.$ (\complement_{U}A) \cap B $
C.$ \complement_{U}(A \cap B) $
D.$ \complement_{U}(A \cup B) $

答案： 2. A 由Venn图可以看出，阴影部分是$A$中去掉$B$那部分所得，即阴影部分的元素属于$A$，且不属于$B$，即$A\cap(\complement_U B)$.

3. 设全集 $ U $ 是实数集 $ \mathbf{R} $，$ M = \{ x | x ＜ - 2 $，或 $ x ＞ 2 \} $，$ N = \{ x | 1 \leq x \leq 3 \} $，如图，则阴影部分所表示的集合为(A)


A.$ \{ x | - 2 \leq x ＜ 1 \} $
B.$ \{ x | - 2 \leq x ＜ 3 \} $
C.$ \{ x | x \leq 2 $，或 $ x ＞ 3 \} $
D.$ \{ x | - 2 \leq x \leq 2 \} $

答案： 3. A

4. 设全集 $ U = \{ x | x $ 是三角形 $ \} $，$ A = \{ x | x $ 是锐角三角形 $ \} $，$ B = \{ x | x $ 是钝角三角形 $ \} $，则 $ (\complement_{U}A) \cap (\complement_{U}B) = $$\{x|x 是直角三角形\}$。

答案： 4. 答案：$\{x|x 是直角三角形\}$
解析：根据三角形的分类可知，
$\complement_U A=\{x|x 是直角三角形或钝角三角形\}$，
$\complement_U B=\{x|x 是直角三角形或锐角三角形\}$，
所以$(\complement_U A)\cap(\complement_U B)=\{x|x 是直角三角形\}$.

集合中的新定义问题是由集合间的运算得到的新集合.新集合中的元素一定要满足集合中元素的互异性，在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件.

答案： 教材拓展2　集合的新定义问题互异性

[例] 设$M,P$为两个非空集合，称集合$M - P$为集合$M$与$P$的差集，现定义如下：$M - P = \{ x \mid x \in M$，且$x \notin P\}$，则$M - (M - P) =$( )

A.$P$
B.$M \cap P$
C.$M$
D.$M \cup P$

答案：
[例]　[答案]　B
[解析]　若M∩P=∅,则如图1.

M - P = M,M - (M - P) = ∅.
若M∩P≠∅,则如图2.

则阴影部分表示M - P,
则M - (M - P) = M∩P.

1. 定义集合运算：$A * B = \{ z \mid z = x^{2} - y^{2},x \in A$，$y \in B\}$，设集合$A = \{ 1,\sqrt{2}\}$，$B = \{ - 1,0\}$，则集合$A * B$的元素之和为 (C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 跟踪训练　1.C　当x = 1,y = -1时，z = 0；当x = 1,y = 0或$x = \sqrt{2},y = -1$时，z = 1；当$x = \sqrt{2},y = 0$时，z = 2.所以集合A * B = {0,1,2}的元素之和为0 + 1 + 2 = 3.

2. 如图所示的 Venn 图中，$A,B$是非空集合，定义$A * B$表示阴影部分的集合.
若$A = \{ x \mid 0 \leq x \leq 2\}$，$B = \{ x \mid x ＞ 1\}$，则$A * B =${x|0≤x≤1，或x＞2}；$\complement_{\mathbf{R}}(A * B) =${x|x＜0，或1＜x≤2}.

答案： 2.答案：{x|0≤x≤1，或x＞2} {x|x＜0，或1＜x≤2}
解析:A∩B = {x|1＜x≤2},A∪B = {x|x≥0},
$A * B = ∁_{(A∪B)}(A∩B) = {x|0≤x≤1，或x＞2}.$
∁_R(A * B) = {x|x＜0，或1＜x≤2}.