《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例2] 如图所示，设矩形$ABCD(AB＞BC)$的周长为36，把它沿$AC$翻折，翻折后$AB′$交$DC$于点$P$，设$AB=x$.
(1)用$x$表示$DP$，并求出$x$的取值范围；
(2)求$\triangle ADP$面积的最大值及此时$x$的值.

答案： [例2] [解]
(1)矩形$ABCD(AB＞BC)$的
周长为$36$，
$\because AB = x$，$\therefore AD = \frac{36}{2}-x = 18 - x$，
$\because AB＞BC = AD$，得$x＞18 - x$，
$\therefore 9＜x＜18$，
在$\triangle APC$中，$\angle PAC = \angle PCA$，所以$AP =$
$PC$，从而得$DP = PB$，
$\therefore AP = AB'-PB' = AB - DP = x - DP$，在
$Rt\triangle ADP$中，由勾股定理得$(18 - DP)^{2}+$
$DP^{2} = (x - DP)^{2}$
$\therefore DP = 18-\frac{162}{x}(9＜x＜18)$.
(2)在$Rt\triangle ADP$中，
$S_{\triangle ADP}=\frac{1}{2}AD· DP = \frac{1}{2}(18 - x)$
$(18-\frac{162}{x}) = 243-(9x+\frac{1458}{x})(9＜x＜18)$.
$\because 9＜x＜18$，$\therefore 9x+\frac{1458}{x}\geqslant 2\sqrt{9x· \frac{1458}{x}}$
$= 162\sqrt{2}$，当且仅当$9x = \frac{1458}{x}$，即$x = 9\sqrt{2}$
时，等号成立.
$\therefore S_{\triangle ADP}=243-(9x+\frac{1458}{x})\leqslant 243 -$
$162\sqrt{2}$，
$\therefore$当$x = 9\sqrt{2}$时，$\triangle ADP$的面积取最大值
$243 - 162\sqrt{2}$.

2.已知直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为$3 - 2\sqrt{2}$.

答案： 2.答案：$3 - 2\sqrt{2}$
解析：设直角三角形的两直角边长分别为
$a,b$，斜边长为$c$，面积为$S$，周长$L = 2$，由于
$a + b+\sqrt{a^{2}+b^{2}} = L\geqslant 2\sqrt{ab}+\sqrt{2ab}$(当且
仅当$a = b$时取等号)，$\therefore \sqrt{ab}\leqslant \frac{L}{2+\sqrt{2}}$.
$\therefore S = \frac{1}{2}ab\leqslant \frac{1}{2}(\frac{L}{2+\sqrt{2}})^{2}=\frac{1}{2}$.
$[\frac{(2-\sqrt{2})L}{2}]^{2}=\frac{3 - 2\sqrt{2}}{4}L^{2}=3 - 2\sqrt{2}$.

[例3] 已知$a＞0$，$b＞0$，$c＞0$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geqslant a+b+c$.
[分析] 先用基本不等式证$\frac{a^2}{b}+b\geqslant2a$，$\frac{b^2}{c}+c\geqslant2b$，$\frac{c^2}{a}+a\geqslant2c$，再将同向不等式相加即可.

答案： [例3] [证明] 因为$a＞0,b＞0,c＞0$，所以
利用基本不等式可得$\frac{a^{2}}{b}+b\geqslant 2a$，$\frac{b^{2}}{c}+c\geqslant$
$2b$，$\frac{c^{2}}{a}+a\geqslant 2c$，
所以$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a + b + c\geqslant 2a + 2b + 2c$，
故$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geqslant a + b + c$，当且仅当$a = b$
$= c$时，等号成立.

[例4] 若$a＞0$，$b＞0$，$a+3b=1$，证明：$\frac{1}{a}+\frac{1}{3b}\geqslant4$.
[分析] 因为条件里含有“1”，所以可以利用“1”进行代换.

答案： [例4] [证明] 因为$a＞0,b＞0,a + 3b = 1$，
所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{3b}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{3b})· (a + 3b)=2 +$
$\frac{3b}{a}+\frac{a}{3b}\geqslant 2 + 2\sqrt{\frac{3b}{a}× \frac{a}{3b}}=2 + 2 = 4$.当且
仅当$a = 3b$时等号成立，所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{3b}\geqslant 4$
成立.