《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 利用同角三角函数基本关系化简三角函数式，一般利用商数关系$\tan\alpha=$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$进行弦切互化，再利用平方关系$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$或其等价变形求解.

答案： 1.$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$

2. 常见平方关系的等价变形，如$(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha)=$$\cos^{2}\alpha$，$(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)=$$\sin^{2}\alpha$，$1+2\sin\alpha\cos\alpha=$$(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}$，$1-2\sin\alpha\cos\alpha=$$(\sin\alpha - \cos\alpha)^{2}$.

答案： 2.$\cos^{2}\alpha$ $\sin^{2}\alpha$ $(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}$ $(\sin\alpha - \cos\alpha)^{2}$

[例3] 化简：$\sin^{2}\alpha\tan\alpha+\frac{\cos^{2}\alpha}{\tan\alpha}+2\sin\alpha\cos\alpha$.
[分析] 观察式子中有正弦、余弦、正切，可利用化切为弦的思路进行化简.

答案： [例3] [解] 原式=$\sin^{2}\alpha·\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\cos^{2}\alpha·\frac{\cos\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha}$
=$\frac{\sin^{4}\alpha+\cos^{4}\alpha + 2\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$
=$\frac{(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)^{2}}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$

3. 化简下列各式：
(1)$\frac{\sqrt{1-2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}}}{\sin10^{\circ}-\sqrt{1-\sin^{2}10^{\circ}}}$；
(2)$\frac{\sin x}{1-\cos x}·\sqrt{\frac{\tan x-\sin x}{\tan x+\sin x}}$.

答案： 跟踪训练3. 解:
(1) 原式=$\frac{\sqrt{(\sin10^{\circ}-\cos10^{\circ})^{2}}}{\sin10^{\circ}-\cos10^{\circ}}$
=$\frac{|\sin10^{\circ}-\cos10^{\circ}|}{\sin10^{\circ}-\cos10^{\circ}}$
=$\frac{\cos10^{\circ}-\sin10^{\circ}}{\sin10^{\circ}-\cos10^{\circ}}=-1$。
(2)由题意,$x$的终边不在坐标轴上，
原式=$\frac{\sin x}{1 - \cos x}-\sin x$
=$\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}+\sin x}$
=$\frac{\sin x}{1 - \cos x}·\sqrt{\frac{(1 - \cos x)^{2}}{\sin x(1 + \cos x)}}$
=$\frac{\sin x}{1 - \cos x}·\frac{1 - \cos x}{|\sin x|}·\frac{\sin x}{|\sin x|}$
当$x$是第一象限或第二象限角时，原式=$\frac{\sin x}{|\sin x|}·\frac{\sin x}{\sin x}=1$；
当$x$是第三象限或第四象限角时，原式=$\frac{\sin x}{|\sin x|}·\frac{\sin x}{-\sin x}=-1$。