《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例1] 若$a＞0$，且$a\neq1,x＞0,y＞0,n\in\mathbf{N}^*$且$n＞1$.则下列结论正确的是 ( )

A.$(\log_ax)^2=2\log_ax$
B.$\log_a(x+y)=\log_ax+\log_ay$
C.$\frac{\log_ax}{\log_ay}=\log_a\frac{x}{y}$
D.$\frac{\log_ax}{n}=\log_a\sqrt[n]{x}$

答案： [答案] D
[解析] $(\log_a{x})^2$是两个对数值$\log_a{x}$的乘积，而不是该对数的两倍，所以A不正确；$\log_a(x + y)$中的真数是两个数的和，而不是积，所以B不正确；$\log_a{\frac{x}{y}} = \log_a{x} - \log_a{y}$，所以C不正确；$\frac{\log_a{x}}{n} = \frac{1}{n}\log_a{x} = \log_a{\sqrt[n]{x}}$，所以D正确.

1.(多选)若$ab＞0$，且$ab\neq1$，则下列等式中不正确的是(ABD)

A.$\lg(ab)=\lg a+\lg b$
B.$\lg\frac{a}{b}=\lg a-\lg b$
C.$\frac{1}{2}\lg(\frac{a}{b})^2=\lg\frac{a}{b}$
D.$\lg(a+b)=\lg a+\lg b$

答案： 1.ABD 对于A，当$a ＜ 0,b ＜ 0$时，$ab ＞ 0$，但是$\lg a$，$\lg b$无意义，该等式不正确；对于B，当$a ＜ 0,b ＜ 0$时，$\frac{a}{b} ＞ 0$，但$\lg a$，$\lg b$无意义，该等式不正确；对于C,$ab ＞ 0 \Rightarrow \frac{a}{b} ＞ 0$，按照对数的运算法则，该等式正确；D错误.

利用对数的运算性质化简与求值，其关键是化为_______的对数.

答案： 同底数

[例2] 下列各式的值：
(1)$\log_84+\log_82$； (2)$\log_510-\log_52$； (3)$\log_2(4^7×2^5)$；(4)$ \lg5^2+\frac{2}{3}\lg8+\lg5×\lg20+(\lg2)^2$.
[分析] (1)(2)逆用对数运算性质；(3)正用对数运算性质；(4)灵活运用对数运算性质.

答案： [例2] [解]
(1)$\log_8{4} + \log_8{2} = \log_8{8} = 1$.
(2)$\log_5{10} - \log_5{2} = \log_5{5} = 1$.
(3)$\log_2{(4^7 × 2^5)} = \log_2{2^{19}} = 19$.
(4)原式$= 2\lg 5 + 2\lg 2 + \lg 5 × (1 + \lg 2) + (\lg 2)^2 = 2(\lg 5 + \lg 2) + \lg 5 + \lg 2 × (\lg 2 + \lg 5) = 2 + \lg 5 + \lg 2 = 3$.

2.求下列各式的值：
(1)$\log_2\sqrt{\frac{7}{48}}+\log_212-\frac{1}{2}\log_242$；
(2)$\frac{\lg\sqrt{2}+\lg3-\lg\sqrt{10}}{\lg1.8}$；
(3)$\lg^2 5+\lg2×\lg50$.

答案： 2. 解：
(1) 原式$= \log_2{\sqrt{\frac{7}{48}}} + \log_2{\sqrt{144}} - \log_2{\sqrt{42}} = \log_2{(\sqrt{\frac{7}{48}} × \sqrt{144} ÷ \sqrt{42})} = \log_2{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \log_2{2^{-\frac{1}{2}}} = -\frac{1}{2}$.
(2)原式$= \frac{\frac{1}{2}(\lg 2 + \lg 9 - \lg 10)}{\lg 1.8} = \frac{\frac{1}{2}\lg \frac{18}{10}}{\lg 1.8} = \frac{\frac{1}{2}\lg 1.8}{\lg 1.8} = \frac{1}{2}$.
(3)原式$= \lg^2 5 + (1 - \lg 5)(1 + \lg 5) = \lg^2 5 + 1 - \lg^2 5 = 1$.